Родился 18 июля 1840 года. Образование получил в Пажеском корпусе, из которого выпущен 20 июня 1858 года корнетом в лейб-гвардии Конный полк. В этом полку последовательно получил чины поручика (23 апреля 1861 года), штабс-ротмистра (19 апреля 1864 года), причём по производству в последний чин был назначен адъютантом главнокомандующего войсками гвардии и Петербургского военного округа, и ротмистра (30 августа 1867 года) и был награждён орденами св. Анны 3-й степени (в 1865 году) и св. Станислава 2-й степени с императорской короной (в 1867 году).
17 апреля 1870 года Струков был произведён в полковники и в следующем году награждён орденом св. Владимира 4-й степени; вслед за тем он в 1873 году получил орден св. Анны 2-й степени и в 1876 году — орден св. Владимира 3-й степени.
В качестве адъютанта великого князя Николая Николаевича Старшего участвовал в русско-турецкой войне 1877—1878 годов и за отличие награждён золотым палашом с надписью «За храбрость» (23 июня 1877 года), чином генерал-майора с зачислением в Свиту Его Величества (со старшинством от 10 июля 1877 года). 21 июня 1877 года Струков был удостоен ордена св. Георгия 4-й степени
За отличие при штурме Плевны он получил мечи к ордену св. Владимира 3-й степени. После Плевны Струков состоял начальником авангарда у генерала М. Д. Скобелева. Затем перешёл через Балканы и взял в плен Османа-пашу. Генерал И. С. Ганецкий писал в своём рапорте: «Не могу также не засвидетельствовать о пользе, принесённой свиты Его Величества генерал-майором Струковым, во всё время боя состоявшим при мне. Генерал этот, наблюдая за ходом дела, постоянно докладывал мне обо всём замеченном и брал даже на себя труд передавать приказания в войска».
В январе Струков, командуя небольшим кавалерийским авангардным отрядом, атаковал и захватил железнодорожный узел Семенли, тем самым открыв путь Скобелеву на Адрианополь. Струков писал в донесении: «Турки в панике побежали из редута и зажгли мост, что не дало возможности преследовать. Драгуны спешены и пущены были на мост и тотчас потушили. Набег был так быстр, что станция захвачена неиспорченной». Затем он дошёл до Адрианополя и не входя в город занял окружающие его деревни и главный Адрианопольский арсенал, дожидаясь подхода основных сил. Захваченный врасплох двухтысячный турецкий гарнизон оставил крепость без боя. Как свидетельствует В. В. Верещагин, находившийся во время этой операции в отряде Струкова, «Сулейман присылал телеграмму за телеграммой о заготовке вагонов для немедленной доставке его армии в Адрианополь. Его депеши достались Струкову в руки, и можно было видеть по ним, что турки, гонимые Гурко от Филиппополя, ждали нас и с этой стороны, но, конечно, не воображали, что мы перережем им дорогу».
2 марта 1878 года Струков был назначен командиром лейб-гвардии Уланского полка; в том же году награждён орденом св. Станислава 1-й степени и золотой, бриллиантами украшенной, саблей с надписью «За военные подвиги за Балканами 1878 г.» (23 марта), а в 1881 году — орденом св. Анны 1-й степени.
30 августа 1881 года Струков был назначен командиром 3-й бригады 2-й гвардейской кавалерийской дивизии; 26 июня 1883 года назначен командующим 4-й кавалерийской дивизией; в 1884 году награждён орденом св. Владимира 2-й степени. 30 августа 1886 года Струков получил чин генерал-лейтенанта с утверждением в должности; в 1889 году награждён орденом Белого Орла. 7 января 1892 года назначен начальником 1-й гвардейской кавалерийской дивизии.
24 февраля 1893 года назначен инспектором ремонтирования кавалерии и бригад кавалерийского запаса, а в 1894 году награждён орденом св. Александра Невского. В 1898 году произведён в генералы от кавалерии, в 1903 году назначен генерал-адъютантом и с 1907 года состоял по гвардейской кавалерии. В литературе иногда встречается утверждение, что Александр Петрович Струков был членом Государственного совета Российской империи; это явная ошибка — в данном случае его путают с гофмейстером Ананием Петровичем Струковым.
Скончался 14 октября 1911 года в Петергофе, похоронен в крипте Петропавловской церкви.
Верещагин в своих записках о русско-турецкой войне уделил немало места Струкову, в частности дал ему следующую характеристику:
.
