Родился в 1855 году в дворянской семье польского происхождения. Учился в Московском Строгановском училище живописи, ваяния и зодчества, но обучение не закончил. Во время учёбы заинтересовался театральной деятельностью (выступал на сцене под творческим псевдонимом «А. Глумов» практически до конца жизни) и встретил свою будущую жену — актрису Ольгу Петровну Смердину. Оставив учёбу, он создал актёрскую труппу. В 1883 году переехал в Пермь и в 1884 году руководил постановкой драмы «Горе от ума».
Сценическая деятельность не могла обеспечить Турчевичу достаточно средств к существованию, поэтому он вернулся к своей первой профессии. В 1885 году сдал экстерном экзамен на право производства строительных работ и стал принимать заказы на проектирование зданий. В 1888 году создал «Строительно-техническое бюро А. Б. Турчевича».
Получив крупное наследство, в 1891—1892 годах построил на углу улицы Екатерининской и Верхотурского переулка (сейчас — улицы Большевистская и Островского) по собственному проекту двухэтажное здание с башенками по углам. Этот дом он подарил супруге.
По его проектам на Урале построено более 150 зданий, в том числе 50 церквей. Наиболее известные из его работ:
- Дом Мешкова (сейчас — здание Пермского краевого музея);
- Дом Грибушина (сейчас — Пермский научный центр УрО РАН);
- Дом Е. И. Любимовой (сейчас Театр юного зрителя);
- здание Крестьянского поземельного банка (сейчас РУ ФСБ);
- церковь Марии-Магдалины (ул. Ленина, 11);
- собор в Осе;
- церкви в Кунгуре и селе Ершовка Сарапульского уезда;
- здание гимназии и дом Ф. Г. Пешехонова в Сарапуле;
- дом Железнова и воспитательный дом Верх-Исетского завода в Екатеринбурге;
- предположительно являлся автором проекта Торгового дома Ижболдиных (улица Петропавловская, дом 65)
-
Дом Е. И. Любимовой (сейчас Театр юного зрителя)
-
Церковь Марии-Магдалины
-
Дом Мешкова
-
Дом С. М. Грибушина
Несмотря на занятость в строительном бюро, до конца жизни Турчевич не прекращал театральную деятельность, хотя и в качестве любителя.