В 9 лет начал посещать Кёльнский шахматный клуб и вскоре был включен в его сборную команду, в которой добился первых успехов. 5 марта 1963 году газеты Кёльна сообщили своим читателям сенсационную новость о победе Роберта в сеансе одновременной игры: «Пятнадцатилетний школьник победил чемпиона мира Петросяна на 45-м ходу!».
В том же году он стал играть в юношеском первенстве ФРГ Федеративной Республики Германии, два года спустя — в юношеском первенстве мира, а в 19 лет разделил 1- 2-е место в чемпионате ФРГ среди взрослых.
Вскоре Хюбнер стал побеждать в крупных международных турнирах и зарекомендовал себя одним из сильнейших шахматистов мира. Он завоёвывал первые призы в Сомборе (1970), Осло (1974), Мюнхене (1979), Чикаго (1982), Биле и Линаресе (1985), Золингене (1986).
Параллельно с шахматами Хюбнер серьёзно занимается филологией, став одним из крупнейших специалистов по папирусологии, изучающей древние египетские рукописи. Владеет многими иностранными языками. Его перу принадлежат исследования о творчестве Кафки и Сэлинджера.
И все-таки наибольшую известность Хюбнеру принесло участие в состязаниях на первенство мира. Он дебютировал в них ещё в 1969 году, когда выиграл зональный турнир в Афинах.
В следующем году в межзональном в Лас-Пальмасе разделил 2-4-е место и одновременно с гроссмейстерским званием первым из шахматистов ФРГ получил право участвовать в матчах претендентов. Жребий определил ему соперником экс-чемпиона мира Т. Петросяна.
Перед началом матча Хюбнер вдруг заявил: «У меня нет никаких шансов в матче с Петросяном. Я и раньше не питал особых надежд пробиться в полуфинал. А теперь, когда жребий решил, что сыграть предстоит с Петросяном, надежд не осталось совсем. Его стиль игры очень неудобен для меня. Кроме того, у Петросяна огромный матчевый опыт. Я бы предпочел встретиться с Ларсеном, Фишером или кем-нибудь другим. Но, конечно, я буду бороться, попытаюсь сделать все возможное».
Первые 6 партий этого поединка закончились вничью. И только в 7-й Петросяну удалось одержать победу. К удивлению многих, Хюбнер решил не продолжать матча при счете 3:4 (на большинство из 10 партий), он сдался.
И все же Хюбнер не оставил попыток вновь испытать себя в соревнованиях на первенство мира. В 1979 он поделил 1-3-е место на межзональном турнире в Рио-де-Жанейро, затем выиграл четвертьфинальный матч у Адорьяна (5,5:4,5), полуфинальный у Портиша (6,5:4,5), но в финале уступил Корчному (3,5:4,5). И опять же в решающий момент, когда соперник вышел вперёд, Хюбнер отказался продолжать матч. Правда, на этот раз причиной мог стать открытый стресс: после шести партий Хюбнер был на очко впереди, в 7-й он в лучшей позиции упустил перевес, а затем, когда на доске было всего восемь фигур, подставил ладью под удар. После этого он не мог играть в полную силу: без борьбы проиграл восьмую партию, отложил две следующие в плохих позициях (недоигранные 9-я и 10-я партия в результат матча не вошли), и только тогда досрочно сдал матч.
Спустя 2 года Хюбнеру представилась возможность испытать себя еще в одной попытке. В претендентском матче 1/4 финала (1983) его соперником стал 62-летний экс-чемпион мира Смыслов. На этот раз у Хюбнера не было проблем с психологией. Проиграв в 4-й партии, он сумел отыграться в 9-й. Счет в матче сравнялся — 4,5:4,5. Не выявили победителя и следующие 5 партий — 7:7. Впервые в истории шахматных соревнований столь высокого ранга победителя должен был определить жребий.
Хюбнера часто называют загадочным, его решения уйти с поля боя в разгар сражения вызывали отрицательные эмоции у соотечественников и всего шахматного мира. Тем не менее, он продолжал оставаться одним из сильнейших шахматистов мира. И когда Каспаров в перерыве между 1-м и 2-м матчами на первенство мира решил сыграть тренировочный матч с шахматистом тонкого позиционного стиля, он провел его в 1985 году именно с Хюбнером и выиграл со счетом 4,5:1,5 (+3, ?0, =3).
В 1990 Хюбнер стал участником межзонального турнира в Маниле и получил право играть в соревновании претендентов. В 1998 на очередной Всемирной олимпиаде в Элисте он вновь, как и на 5 олимпиадах (1968—1984), выступал в составе национальной команды и добился отличных результатов, набрав 5,5 очков из 8 (+4, ?1, =3).
