Отец, Борис Михайлович Чесноков (1891—1979) — известный футболист, спортивный журналист и организатор.
Начал заниматься волейболом в Москве. В 1953—1966 выступал за команду ЦСК МО/ЦСКА. Восьмикратный чемпион СССР (1954, 1955, 1957, 1958, 1960, 1963, 1965, 1966), победитель Кубка европейских чемпионов 1960 и 1962, победитель (1963) и серебряный призёр (1956 и 1959) Спартакиады народов СССР.
В сборной СССР в официальных соревнованиях выступал в 1955 и 1960—1964 годах. С 1960 — капитан сборной. В её составе стал олимпийским чемпионом 1964, двукратным чемпионом мира (1960 и 1962), бронзовым призёром чемпионата Европы 1963.
В 1958 году Юрий Чесноков с отличием закончил Военно-инженерную академию имени В. Куйбышева. На кафедре физподготовки и спорта этой академии он работал в 1965—1968 годах.
В 1969 году Юрий Чесноков перешёл на тренерскую работу. В 1969—1976 и 1985—1987 возглавлял мужскую волейбольную команду ЦСКА, которую 10 раз приводил к званию чемпионов СССР и 5 раз к победе в розыгрыше Кубка европейских чемпионов. В 1970—1976 одновременно работал старшим тренером мужской сборной СССР, ставшую под его руководством двукратным серебряным призёром Олимпийских игр (1972 и 1976), серебряным призёром чемпионата мира 1974, двукратным чемпионом Европы (1971 и 1975). В 1976—1983 — старший тренер Вооружённых сил по волейболу, в 1983—1984 возглавлял женскую волейбольную команду ЦСКА.
Юрий Борисович Чесноков более 30 лет занимал руководящие посты в Международной федерации волейбола (ФИВБ): 1976—2008 — член Административного совета и Исполкома ФИВБ, 1976—1992, 1994—1998, 2002—2008 — вице-президент ФИВБ. До 1992 — вице-президент Федерации волейбола СССР, а в 1996—1999 — вице-президент Всероссийской федерации волейбола (ВФВ). Последние годы жизни Ю. Б. Чесноков являлся председателем тренерской комиссии ВФВ.
В 2000 году Юрий Чесноков первым из иностранных спортсменов-мужчин был включён в Зал Волейбольной Славы в Холиоке (США). В том же году в России удостоен титула «Легенда спорта уходящего века».
Чесноков был награждён орденами «Знак Почёта» и Дружбы народов, медалями. Его супруга — знаменитая волейболистка ЦСКА, чемпионка Европы, призёр мирового первенства Галина Чеснокова.
29 мая 2010 года Юрий Борисович Чесноков скончался в городе Москве.
