Окончил Ленинградскую консерваторию по специальности «скрипка» в 1929, параллельно обучался дирижированию.
С 1929 по 1931 работал в Театре музыкальной комедии, в 1937—1950 — главный дирижёр Большого симфонического оркестра Ленинградского радиокомитета.
В годы войны это был единственный в блокадном Ленинграде оркестр, в нём работали оставшиеся в городе музыканты. Большой симфонический оркестр Ленинградского радиокомитета выступал по радио и давал концерты (всего более 400). 9 августа 1942 под управлением Элиасберга состоялось исполнение Седьмой симфонии Дмитрия Шостаковича, ставшее историческим.
После окончания войны Элиасберг продолжил дирижёрскую карьеру, работал с оркестром Ленинградской филармонии (так с 1953 года назывался бывший Большой симфонический оркестр Ленинградского радиокомитета), Государственный симфоническим оркестром и другими коллективами, в том числе в провинции, много гастролировал по СССР.
Элиасберг награждён орденом Красной Звезды.
Среди осуществлённых концертных и студийных записей — произведения Иоганнеса Брамса (двойной концерт, симфония № 3, Немецкий реквием), Йозефа Гайдна (симфонии № 88, 95, 103), Исаака Дунаевского, Анатолия Лядова, Густава Малера (симфония № 4), Феликса Мендельсона, Сергея Танеева (симфонии № 1, 3), Дмитрия Шостаковича (симфония № 7).
