Биография
Николай Бугаев родился в Тбилисской губернии в семье военного врача кавказских войск. В 1847 году был отправлен отцом в Москву для обучения в гимназии; учился в Первой московской гимназии (по другим данным — во Второй московской гимназии), уже с четвёртого класса он ничего не получал из дома и жил исключительно на то, что зарабатывал уроками; школу он окончил с золотой медалью.
В 1855 году он поступил на Физико-математический факультет Московского университета. Среди преподавателей Бугаева были профессора Николай Ефимович Зернов (1804—1862), Николай Дмитриевич Брашман (1796—1866), Август Юльевич Давидов (1823—1885). Известно, что после лекций Бугаев занимался самообразованием, читая дома труды по философии и политэкономии.
В 1859 году, после окончания университетского курса, Бугаеву было предложено остаться при Университете для подготовки к профессуре, но он отказался, решив избрать военную карьеру. Поступив на службу унтер-офицером в гренадерский сапёрный батальон с прикомандированием к лейб-гвардии сапёрному батальону, одновременно он был принят экстерном в Николаевское инженерное училище в Санкт-Петербурге. В 1860 году Бугаев после сдачи экзамена был произведён в военные инженер-прапорщики и оставлен при Николаевской инженерной академии для продолжения обучения. Среди тех, чьи лекции слушал Бугаев, можно выделить математика Михаила Васильевича Остроградского (1801—1861/1862). Обучение в академии закончилось после того, как был отчислен один из инженер-прапорщиков — и многие его товарищи, среди которых был и Бугаев, подали в знак протеста прошения о своём отчислении. Прошения были удовлетворены, Бугаев был откомандирован в сапёрный батальон. Вскоре он оставил военную службу, в 1861 году вернулся в Москву и стал готовиться к защите диссертации.
В 1863 году Бугаев защитил магистерскую диссертацию на тему «Сходимость бесконечных рядов по их внешнему виду», после чего получил заграничную командировку на два с половиной года для подготовки к профессорскому званию. Среди тех, чьи лекции он слушал в Германии и Франции, можно отметить Жозефа Бертрана (1822—1900), Карла Вейерштрасса (1815—1897), Жана Дюгамеля (1797—1872), Эрнста Куммера (1810—1893), Габриеля Ламе (1795—1870), Жозефа Лиувилля (1809—1882), Жозефа Серре (1819—1885), Мишеля Шаля (1793—1880). Бугаев выделял среди них Эрнста Куммера, у него Николай Васильевич слушал лекции по аналитической механике, теории чисел, теории поверхностей и теории гипергеометрических рядов.
В 1865 году Бугаев вернулся в Москву и был избран доцентом по кафедре чистой математики. К этому же периоду относится и его активное участие в работе организованного во время его отъезда Московского математического общества.
В 1866 году Бугаев защитил докторскую диссертацию о рядах, связанных с основанием натуральных логарифмов e («Числовые тождества, находящиеся в связи со свойствами символа Е») и в 1867 году стал профессором Московского университета. Он стал читать теорию чисел, а позже исчисление конечных разностей, вариационное исчисление, теорию эллиптических функций, теорию функций комплексного переменного.
В 1879 году Бугаев был избран членом-корреспондентом Императорской Санкт-Петербургской академии наук.
