Родился в 1822 году. Выпущенный 8 августа 1842 года из бывшего Дворянского полка прапорщиком в 5-ю артиллерийскую бригаду, Будогосский в 1844 году поступил в Военную академию. По окончании академического курса в 1846 году он был перемещён на службу в Генеральный штаб.
Являясь прекрасным съёмщиком для топографических и военно-статистических работ, он выступил и на боевом поприще во время Крымской кампании: будучи квартирмейстером 7-й пехотной дивизии, он участвовал в сражении на Чёрной речке и находился на южной стороне Севастополя в последние дни его осады. За боевые отличия в 1855 году был награждён орденами св. Анны 3-й степени с мечами и бантом и св. Станислава 2-й степени с мечами.
В 1857 году, в чине подполковника, Будогосский был назначен на должность обер-квартирмейстера штаба войск Восточной Сибири. В 1858 году он принимал участие в трудах по разграничению Уссурийского края с Китаем и в то же время начальствовал над экспедицией, которая была организована для исследования страны между морем и рекой Уссури. По окончании этой работы Будогосский был послан в Пекин с вновь выработанными сведениями о границе. В 1859 году он возвратился оттуда через Монголию в Иркутск.
В 1860 году он сделал важное в научном отношении исследование долины реки Китой (река), начиная от верховья ее вплоть до селения Китойского. Для этого он отправился из Ниловой пустыни на северо-запад и, перейдя хребет в вершинах Верхнего Хонголдоя, подошел к Нижнему Хонголдою, достиг верхнего Китоя, по течению которого стал спускаться, но, по причине позднего времени и прибыли воды, не пошел дальше Сахангера; через долину Оспы он вышел к верховьям р. Даялона и уже по Даялону достиг р. Белой и по ней спустился к Абакану. Как и в других своих экспедициях, Будогосский и в этом случае снял маршрутную карту пройденного пути и вёл путевой журнал.
В 1861 г. Будогосский был назначен участвовать в комиссии для разграничения Амурского края с Китаем. За составление прекрасной карты Амурского края Будогосский был награждён орденом св. Владимира 4-й степени и императорской короной и мечами к полученному им в 1858 году ордену св. Анны 2-й степени, также ему назначена пожизненная пенсия.
По возвращении из Сибири, Будогосский был назначен обер-квартирмейстером Одесского военного округа, в 1864 году принял в командование 55-й пехотный Подольский полк, в 1865 году награждён орденом св. Владимира 3-й степени, а 4 октября 1867 года был произведён в генерал-майоры (по данным Глиноецкого в генерал-майоры произведён в 1870 году), с назначением командиром 1-й бригады 12-й пехотной дивизии. В 1870 году получил орден св. Станислава 1-й степени с мечами.
Умер в феврале 1875 г.
Как человек, Будогосский отличался открытым и добродушным характером и пользовался общим расположением. Будогосский опубликовал несколько материалов в «Записках Императорского Русского географического общества». Ему, между прочим, принадлежат замечания на статью М. И. Венюкова «Общий обзор постепенного расширения русских пределов в Азии и способов обороны их» («Военный сборник», 1872 г., том LXXXV, № 6, стр. 124).
