Франц Мёст начал заниматься музыкой в детстве. Сначала он занимался на скрипке, однако вынужден был оставить занятия, после того как попал в автомобильную аварию. После этого он занялся дирижированием. В 1985 году он сменил своё сценическое имя на Вельзер-Мёст в честь города Вельс, где прошло его детство. В 1980-е годы он начал выступать с ведущими мировыми оркестрами. В 1990 году он стал художественным руководителем Лондонского филармонического оркестра. В 1996 году он его покинул. С 1995 по 2008 год Франц Вельзер-Мёст был дирижёром Цюрихского оперного театра. С 2002 года по настоящее время он возглавляет Кливлендский оркестр.
В репертуаре — преимущественно немецкая и австрийская музыка. Среди осуществлённых записей — произведения Альбана Берга, Людвига ван Бетховена, Антона Брукнера, Эриха Вольфганга Конгольда, Феликса Мендельсона, Вольфганга Амадея Моцарта, Карла Орфа, Игоря Стравинского, Франца Шмидта, Франца Шрекера, Иоганна Штрауса-сына, Рихарда Штрауса, Франца Шуберта, Роберта Шумана.
