Родился в бедной семье недалеко от города Бари. Окончил Неаполитанский университет, работал далее в этом университете и в неаполитанской Больнице для неизлечимых (итал. Ospedale degli Incurabili), некоторое время также был личным врачом неаполитанского короля Фердинанда IV.
Ещё молодым учёным Котуньо сделал ряд открытий в области анатомии. Он впервые описал (в сочинении «De aquaeductibus auris humanae internae», 1760) проток в каменистой части височной кости, названный Aquaeductus Cottunnii; назопалатинальный нерв, ответственный за чихание; седалищный нерв. Котуньо первым установил, что присутствие белка в моче свидетельствует о болезнях почек. Котуньо также исследовал артрит, ишиас, оспу и другие забодевания.
