Родился 15 февраля 1797 г. в Вышнем Волочке Тверской губернии. Дед Анжу был выходцем из Франции, поселившимся в Москве во второй половине XVIII в., а отец, принявший подданство России, служил по медицинской части.
Получив специальное образование в Морском кадетском корпусе, Анжу до лейтенантского чина ежегодно плавал на военных судах в Финском заливе, причём 12 июля 1815 года был произведён в мичманы.
В 1817 г сделал переход от Кронштадта до Кадиса, в эскадре капитана Моллера на фрегате «Автроил», проданном тогда же, в числе прочих судов эскадры, испанскому правительству.
Произведённый 1 января 1820 г в лейтенанты, Анжу в качестве начальника Усть-Янской полярной экспедиции, участвовал в 1820—1824 гг. при описи части северного берега Сибири, с прилежащими к ней островами: Ляховскими, Котельным, Фаддеевским, Новою Сибирью и другими. Записки, ведённые им об этой экспедиции, и всё относящиеся до неё бумаги погибли в 1837 г при пожаре дома Анжу на Васильевском острове. Результаты этой экспедиции изложены в VII части «Записок Гидрографического департамента». Экспедицией впервые была на основании астрономически определённых пунктов, снята точная карта северного побережья Сибири от Оленека до Индигирки и доказано, что на север от островов Котельного, Фаддеевского и Новой Сибири никакой земли не существует. Во время экспедиции он прошёл около 14 тысяч километров, показав, что опись берегов можно вести с моря и со льда в зимнее время, впервые изучил состояние льдов в море Лаптевых.
За понесенные в Сибирской экспедиции труды Анжу был произведён в капитан-лейтенанты, награждён орденом св. Владимира 4-й степени, прибавочным жалованьем по чину лейтенанта, и время пребывания в экспедиции положено считать двойной службой к получению ордена св. Георгия за морские кампании.
С 1825—1826 гг. Анжу участвовал в военно-ученой экспедиции, при описании северо-восточного берега Каспийского и западного берега Аральского морей, под начальством полковника Ф. Ф. Берга, причём вместе с Загоскиным и Дюгамелем произвёл барометрическую нивелировку по направлению от Мёртвого Култука до залива Дуананы Кулама, на западном берегу Аральского моря. Во время этой экспедиции Анжу неоднократно принимал участие в стычках с хивинцами и неподвластными России казахами. За нивелировку Аральского моря был награждён орденом св. Анны 2-й степени.
В 1827 году, на корабле «Гангут», под командой капитана 2-го ранга Авинова, руководя действиями корабельной артиллерии, Анжу участвовал в Наваринском сражении, был ранен в голову, но оставался в строю до конца сражения, за что 21 декабря 1827 года награждён орденом св. Георгия 4-го класса (№ 4138 по кавалерскому списку Григоровича—Степанова), годовым окладом жалованья и греческим орденом Спасителя золотого креста.
По возвращении из Архипелага был назначен командиром гардемаринской роты Морского кадетского корпуса, в декабре 1832 года был произведён в капитаны 2-го ранга.
С 1832 года командовал фрегатом «Екатерина» и с 1833 по 1842 год — кораблём «Фершампенуаз», в 1837 г — отрядом из трех фрегатов в практическом плавании с гардемаринами. Произведённый в 1836 году в капитаны 1-го ранга, Анжу в 1843 году был награждён орденом св. Владимира 3-й степени.
В 1844 г он был призван на административное поприще, на котором и окончил свою разнообразную деятельность в чине адмирала. Со времени производства в контр-адмиралы (26 марта 1844 года), Анжу последовательно занимал должности: капитана над Кронштадтским портом (до 1859 года), непременного члена Морского учёного комитета (с 6 декабря 1849 года), председателя Временного комитета для составления нового портового регламента и в учрежденном при Морском министерстве комитете по составлению положения о призах; директора департамента корабельных лесов (с 19 января 1855 года по 1 января 1860 года) и члена совета Министерства государственных имуществ (с 1 января 1860 года по 12 октября 1869 года). Анжу состоял, кроме того, почётным членом Морского учёного комитета.
6 декабря 1854 года произведён в вице-адмиралы и 1 января 1866 года в полные адмиралы.
Среди прочих наград имел ордена св. Станислава 1-й степени (1847 г.), св. Анны 1-й степени (26 августа 1856 года, императорская корона к этому ордену пожалована 17 апреля 1858 года), св. Владимира 2-й степени (17 апреля 1863 года), Белого Орла (21 июня 1865 года, за беспорочную выслугу 50 лет в офицерских чинах).
Умер 12 октября 1869 г в Санкт-Петербурге, похоронен на Смоленском евангелическом кладбище.
Его сын, Пётр Петрович Анжу, также служил в российском военно-морском флоте и был известным гидрографом.
Имя Анжу присвоено северной группе Новосибирских островов (от Котельного до Новой Сибири) .
