Родился 28 августа 1836 г. Происходил из дворян Новгородской губернии и воспитание получил в дворянском полку, откуда 17 апреля 1854 г. выпущен на службу прапорщиком артиллерии. В марте 1858 г. переведен в Сибирскую пешую батарею, а с 1862 г. начал свою боевую службу в Средней Азии. В том же году, участвуя при взятии кокандской крепости Пишпек, прапорщик Абрамов был тяжело контужен в голову. С тех пор он до конца своих дней прикрывал голову небольшой кожаной шапочкой. За отличие награждён орденом св. Анны 4-й степени, 5-го июня 1864 г.; за отличие при взятии крепости Аулие-ата — орденом св. Станислава 3-й степени. В том же году, после взятия Чимкента, Абрамов получил орден св. Анны 3-й степени и был произведен в штабс-капитаны. В начале июня 1865 г. Абрамов, действуя по поручению генерала Черняева, занял оставленную кокандцами крепостцу Чиназ на Сырдарье и уничтожил переправу через эту реку. За эту операцию Абрамов получил чин капитана. Затем «случился Ташкент» — зачем Черняев штурмовал этот город так до конца никто и не понял, но штурм был проведен успешно и малой кровью — на всех участников пролился дождь наград. Александр Константинович здесь блестяще командовал первой штурмовой колонной и первым врывается в этот укрепленный и отчаянно защищавшийся город, за что и был награждён орденом Св. Георгия 4-й степени.
В начале 1866 года на место Черняева прибыл Романовский и началась война с Бухарой. В сражении при Ирджаре капитан Абрамов руководил действиями левого фланга русских войск. За свое руководство был произведен в подполковники и удостоен ордена Св. Владимира 4-й степени с мечами и бантом. Затем участвовал при взятии штурмом Ходжента, за что награждён орденом Св. Станислава 2-й степени. Появление на свет Туркестанской губернии и прибытие в край назначенного генерал-губернатора Кауфмана Абрамов встретил на должности Джизакского коменданта. В самом штурме Джизака Абрамов участия не принимал — его оставили прикрывать обоз. В то время, когда Романовский уже уехал, а Кауфман ещё не приехал, и временно главноначальствовал в крае генерал Мантейфель, особых боевых действий не происходило, однако Абрамов взял и разрушил бухарскую крепость Яны-Курган, мотивируя это преследованием разбойников. Формальный начальник края Оренбургский губернатор Крыжановский раздраженно писал в Петербург: «При этом считаю нужным заявить Вашему высокопревосходительству, что подобное своеволие со стороны подполковника Абрамова, предпринявшего движение, не получив на то разрешения от генерал-майора Мантейфеля, я нахожу в высшей степени непростительным и, чтоб раз навсегда прекратить такие своевольные поступки со стороны частных начальников в Туркестанской области, признаю полезным поручить и. д. туркестанского военного губернатора произвести строжайшее исследование о причинах, заставивших подполковника Абрамова решиться на такой поступок; но независимо от этого, находя, что войска, участвовавшие в деле, исполнили свой долг блистательным образом, испрашиваю разрешения на представление особенно отличившихся к наградам». На взгляд М. А. Терентьева в этом и весь секрет русской пограничной политики: "следствия и выговоры само собою, а награды само собою... Таким образом создалась у нас своеобразная система действий в Средней Азии: начальникам мелких отрядов предоставлялась свобода почина, нередко вопреки видам правительства; результаты же их предприимчивости признавались правительством как свершившийся факт, «достоянием истории», а предприимчивый начальник, вслед за замечанием, получал и награду. Поэтому жалобы Крыжановского на то, что в Туркестанской области «воцаряется полный беспорядок» и что он нисколько не будет удивлен, «если подполковник Абрамов двинется и на Самарканд», кажутся по меньшей мере напрасными..."
