Вырос в спортивной семье. Мать, Сталина Алексеевна — бывшая спортсменка, бывший преподаватель лёгкой атлетики в Иркутском техникуме физической культуры. Отец, Валерий Иосифович, был тренером по многоборью, заслуженный тренер СССР и России. Старший брат Евгений выступал за сборную России, но погиб в автокатастрофе в 1996 году, в Иркутске учреждён легкоатлетический турнир его памяти.
Александр выиграл чемпионат Европы до 23 лет по многоборью в 1997 году.
С 1999 года выступает за Израиль. В августе 1999 года он установил новый израильский рекорд по прыжкам с шестом (5,81 м), но так как у него ещё не было гражданства, рекорд не был засчитан (он получил гражданство два дня спустя). Его личный рекорд по прыжкам с шестом — 5,93 м.
Авербух участвовал в Олимпийских играх-2000 и 2004, успешно прошёл отбор к Олимпиаде-2008. Неоднократный чемпион Европы по лёгкой атлетике (2000-в зале, 2002, 2006), серебряный (2001) и бронзовый (1999) призёр чемпионатов мира.
В 2009 году Александр Авербух заявил, что завершит выступления после Маккабианских игр 2009 года и не примет участия в чемпионате мира, который пройдёт позже в том же году.
Женат на Наталье, мастере спорта по спортивной аэробике, имеет двух дочерей — Таню и Диану. Своими кумирами называет легкоатлетов Сергея Бубку и Константина Волкова.
