- Пятнадцатикратный победитель турниров Большого шлема в одиночном, мужском парном и смешанном парном разрядах
- Победитель Чемпионата мира на грунтовых кортах 1922 года
- Шестикратный обладатель Кубка Дэвиса в составе сборной Франции
- Серебряный призёр Олимпийских игр 1924 года в одиночном и мужском парном разрядах
- Член Международного зала теннисной славы с 1976 года.
Спортивная карьера
Отец Анри Коше был служащим местного теннисного клуба, и мальчик проводил время, подавая мячи игрокам, а часы, когда корт был закрыт для посетителей, отдавал тренировкам.
В 1921 году Анри Коше перебрался из Лиона в Париж. В том же году он дошёл до финала чемпионата города в помещениях, где ему противостоял другой новичок, Жан Боротра. Победителем стал Коше. В следующем году они с Боротра уже выступали за сборную Франции в Кубке Дэвиса, и Коше взял единственное очко для французской команды в проигранном полуфинальном матче против австралийцев. В этом же году Коше выиграл национальное первенство в одиночном разряде, а также в смешанном парном разряде, где его партнёршей была Сюзанн Ленглен . Чемпионат Франции в это время ещё не был открыт для участников из-за рубежа, однако Коше добился побед и в крупных международных турнирах под эгидой Международной федерацией лаун-тенниса (ILTF): в Брюсселе он стал чемпионом мира на грунтовых кортах во всех трёх разрядах (в мужских парах с Боротра, а в смешанных с Ленглен), а в Санкт-Морице (Швейцария) — чемпионом мира на крытых кортах .
В 1923 году к Боротра и Коше в рядах сборной Франции присоединились Рене Лакост и Жак Брюньон; впоследствии эта четвёрка заслужит титул «мушкетёров». В этом году французская сборная выиграла Европейскую зону, где Коше победил в шести из восьми своих игр. Межзональный финал французы без Коше опять проиграли австралийцам. Сам Коше второй год подряд выиграл чемпионат мира на закрытых кортах, на этот раз проходивший в Барселоне, а в паре с Ленглен вторично стал чемпионом Франции в миксте.
В 1924 году Коше принял участие в Олимпийских играх в Париже. Он дошёл до финала Олимпийского турнира как в одиночном разряде, так и в мужских парах (с Брюньоном), но на его пути дважды встал американец Винсент Ричардс (в парах — с Фрэнком Хантером), и Коше пришлось удовольствоваться двумя серебряными медалями. В рамках Кубка Дэвиса сборная Франции снова сначала выиграла с Коше Европейскую зону, а потом без него проиграла межзональный финал австралийцам.
С 1925 года начинается история выступлений Коше в финалах турниров Большого шлема. Свой первый финал он провёл в мужском парном разряде в чемпионате Франции, с этого года ставшем международным. В финале им противостояли Лакост и Боротра, победившие в пяти сетах. На следующий год Коше уже завоевал два первых титула в турнирах Большого шлема, сначала выиграв чемпионат Франции в одиночном разряде, а затем Уимблдонский турнир в мужских парах. В этом году он также стал автором сенсации на чемпионате США, победив в полуфинале Билла Тилдена, до этого выигравшего в рамках турнира 42 матча подряд за семь лет.
В течение пяти лет, с 1926 до 1930 год, Коше выигрывал не менее двух турниров Большого шлема за сезон (в разных разрядах), но при этом ему только однажды удалось отстоять завоёванный титул на следующий год: в 1928 и 1929 годах он дважды подряд выиграл чемпионат Франции в миксте. Всего с 1926 по 1932 год Коше завоевал 15 титулов на турнирах Большого шлема, из них семь в одиночном разряде. Возможно, он мог бы выиграть ещё один титул на чемпионате США 1932 года, но был вынужден играть подряд в один день полуфинальную и финальную встречу и в финале уже ничего не смог противопоставить отдохнувшему за день Элсуорту Вайнзу.
