Андрес Липсток в 1975 году закончил Хаапсалускую Среднюю школу №1. В том же году поступил в Тартуский университет на экономический факультет по специальности "Финансы и кредит". Университет закончил в 1980 году.
В период 1980-1983 гг. он работал в Хаапсалуском районом отделении Департамента финансов, а после в Плановом отделе того же района. В 1989 году занимал должность заместителя министра фининансов ЭССР. С 1989 по 1994 год являлся старейшиной уезда Ляэнемаа. В 1994-1995 гг. был министром финансов при правительстве Андреса Таранда, а в 1995 - 1996 гг. министром экономики уже при правительстве Тийта Вяхи. В период с 1995 по 2005 год являлся членом Рийгикогу VIII, IX и X созывов.
В Ноябре 2004 года был избран вице-президентом Эстонского Олимпийского комитета.
7 марта 2005 года был избран первым заместителем председателя Рийгикогу. 24 марта был переизбран на этот пост повторно.
С 7 июня 2005 года Андрес Липсток занимает пост президента Банка Эстонии. На данную должность он был избран советом Банка Эстонии 10 мая 2005 года.
В январе 2007 года Банк Эстонии выпустил в оборот новые денежные двух- и десятикроновые купюры, с более новыми элементами защиты. На новых денежных банкнотах также присутствует подпись Андреса Липстока.
Андрес Липсток женат, имеет двух детей - сына и дочь.
