Тодорович родился в семье учителя. Его отец умер, когда Бора был ещё ребёнком. Тодорович окончил школу и прошёл срочную службу в армии. После этого Тодорович под влиянием сестры, которая решила стать актрисой, поступил в белградскую Академию драматических искусств. После выпуска он несколько лет жил в Загребе. В 1961—1983 годах Тодорович был актёром театра «Ателье 212» в Белграде.
Бора Тодорович сыграл более ста ролей в кино и телефильмах. В частности, он принял участие в известных югославских кинофильмах: «Кто там поёт?» (1980), «Балканский экспресс» (1983), «Балканский шпион» (1984), «Время цыган» (1988), «Андеграунд» (1995).
