О знаменитости

Биография

Фойснер, Фридрих Вильгельм: биография

Фойснер предложил формулы выделения параметров, позволяющие свести разложение определителя пассивной схемы к разложению определителей более простых производных схем, в которых отсутствует некоторая выделяемая ветвь z или y:

где — определитель пассивной схемы. Нижний или верхний индексы при символе указывают на стягивание или удаление выделяемой ветви соответственно. Стягивание ветви равносильно её замене идеальным проводником. В результате стягивания и удаления ветвей могут образоваться вырожденные схемы, определитель которых тождественно равен нулю, что упрощает разложение определителей. Рисунок иллюстрируют применение формул (1) и (2).

Рекурсивным применением формул (1) и (2) достигается сведение исходных формул к простейшим, определители которых выводятся из закона Ома.

Перечисление деревьев графа

В середине 60-х годов было установлено, что наиболее простой алгоритм перечисления деревьев графа базируется на формуле (2). В символьном виде множество S(G) всех деревьев графа G должно удовлетворять условию:

где е является ребром графа G, G/e и G\e — графы полученные из исходного в результате стягивания и удаления ребра е соответственно.

Крупный теоретик-программист Дональд Кнут в четвёртом томе своего монументального труда «Искусство программирования» приводит Фойснера в качестве основоположника эффективной генерации деревьев графов через формулы выделения (1) и (2).

Более ранние упоминания работ Фойснера можно найти в публикациях Дж.Е. Алдерсона, Г.Дж. Минти, В.К. Чена, Ф.Т. Беша, С.Дж. Колборна, Р. П. Дж. Дея и Л.Д. Нела.

Диакоптика Фойснера

Фойснером были высказаны некоторые идеи диакоптического подхода к анализу схем задолго до появления работ Г. Крона. Именно им было впервые введено и использовано понятие «подсхема» («частичная цепь») и предложен метод деления (бисекции) схемы, в основе которого лежат формулы бисекции по одному (4) и двум узлам (5) соответственно:

где и — определители первой и второй подсхем, из которых состоит схема; и — определители схем, образованных соответственно из первой и второй подсхем в результате объединения общих узлов. Формулы (4) и (5) наглядно проиллюстрированы на рис. 3 и рис. 4 соответственно.

Методы разложения схемных определителей

Помимо рассмотренного выше метода выделения параметров по формулам (1) и (2), Фойнсером были предложены и доказаны методы разложения определителя Z-схемы (Y-схемы) по Z-контуру (Y-узлу) и по Z-узлу (Y-контуру). Формулировки этих методов Фойснера заслуживают того, чтобы привести их полностью (заголовки утверждений и их нумерация не принадлежат оригиналу).

Если , то образуют сочетания по h, h — 1, …, 1; , то — сочетания по , - 1, …, 1 из сопротивлений ветвей контура с исключением тех сочетаний ветвей, при удалении которых схема распадается на части. Каждое такое произведение сопротивлений умножается на определитель схемы, которая получена из первоначальной схемы в результате удаления ветвей контура и объединения узлов, которые связываются ветвями контура, не входящими в сочетание. Сумма указанных произведений есть искомый определитель.
Разложение определителя Y-схемы по узлу. Если к Y-схеме добавляется узел с p Y-ветвями, оканчивающимися в каких-либо узлах исходной схемы, то определитель новой Y-схемы есть сумма, слагаемые которой состоят из всех сочетаний по p, p — 1, …, 1 из проводимостей новых ветвей, а каждое такое произведение проводимостей умножено на определитель схемы, полученной из первоначальной схемы в результате объединения конечных узлов ветвей, которые имеются в данном сочетании.
Разложение определителя Z-схемы по узлу. Если к Z-схеме добавляется узел с p z-ветвями, оканчивающимися в какими-либо узлах исходной схемы, то определитель новой Z-схемы есть сумма, слагаемые которой состоят из всех сочетаний по p — 1, р — 2, …, 0 из сопротивлений новых ветвей, а каждое такое произведение сопротивлений умножено на определитель схемы, полученной из первоначальной схемы в результате объединения конечных узлов добавляемых ветвей, которые отсутствуют в данном сочетании.
Разложение определителя Y-схемы с независимыми контурами по контуру, содержащему h ветвей. Если , то образуют сочетания по h — 1, h — 2, …, 0; , то — сочетания по h — 1, h — 2, …, из проводимостей ветвей контура с исключением тех сочетаний ветвей, при удалении которых схема распадается на несвязанные части. Каждое такое произведение проводимостей умножается на определитель схемы, которая получена из первоначальной схемы в результате удаления ветвей контура и объединения узлов, которые связываются ветвями, имеющимися в сочетании. Сумма этих произведений и есть искомый определитель.