О знаменитости

Биография

Фойснер, Фридрих Вильгельм: биография

Утверждения 1, 2, 3 превосходят современные формулировки по общности и четкости. Утверждение 4, которое, по-видимому, в более поздних источниках не приводилось, дополняет предыдущие утверждения. В результате имеем полную группу утверждений относительно разложения определителя схемы по узлу и контуру. В. Фойснер приводит правило, которое позволяет учесть наличие многократных z-ветвей в выражении определителя, полученном для упрощенной схемы, образованной в результате формальной замены многократных ветвей однократными. Это обеспечивает существенное сокращение трудоемкости расчета сложных электрических цепей.

Топологическая формула передачи

В 1847 году, спустя два года после опубликования своих законов, Г. Р. Кирхгоф попытался сделать процесс получения решения более наглядным. Его метод анализа z-схем без управляющих связей использует непосредственно схему замещения цепи и не требует предварительного составления её уравнений. Дуальный результат для y-схем опубликовал Максвелл в 1873 году. В литературе по этому поводу обычно называют 1892 год — дату третьего издания знаменитого трактата. Максвелл вводит отношение (впоследствии названное схемной функцией и ССФ)

где и — соответственно числитель и знаменатель ССФ, в которых параметры всех элементов схемы представлены символами.

В. Фойснер в 1902 г. обратил внимание на трудности построения ССФ с помощью топологических формул Кирхгофа и Максвелла. Формирование ССФ по Фойснеру предусматривает разложение определителей исходной схемы и производных от неё схем по выражениям (1)-(2) без составления уравнений цепи. Важно, что на каждом шаге расчета приходится иметь дело со схемой, менее сложной, чем исходная схема, а не с абстрактными сочетаниями ветвей исходной схемы.

Для упрощения нахождения числителя ССФ как Z-, так и Y-схемы (по сравнению с формулами Кирхгофа и Максвелла) Фойснером были получена формула, в которой совместно учитывались слагаемые, обусловленные вкладом в сумму слагаемых числителя каждого контура схемы, проходящего через источник напряжения и ветвь с искомым током. Предложенная Фойснером топологическая формула передачи позволяет найти числитель ССФ посредством перечисления контуров передачи между независимым источником и ветвью с искомым откликом:

где q — число контуров передачи, — произведение проводимостей, входящих в i-й контур передачи, взятое с соответствующим знаком; -определитель схемы при стягивании всех ветвей i-го контура.

В схемном виде топологическая формула передачи представлена на рисунке. Сама идея поиска контуров, содержащих и генератор, и приемник, для получения числителей схемных функций принадлежит Фойснеру.

Использование полной схемы в качестве шаблона

Первым, кто использовал полную схему в качестве тестовой при разработке методов теории цепей, был учитель Фойснера — Кирхгоф. Это была полная схема на четырёх узлах, предложенная Уитстоном. Её также использовал Максвелл, и в наше время специалисты по-прежнему применяют полную четырёхузловую схему как базовый тест для современных компьютерных систем схемотехнического моделирования.

Фойснер обратил внимание на трудоемкость анализа полной схемы, введенной Максвеллом, и рассмотрел топологический подход к анализу электрических цепей, в котором полная схема используется в качестве шаблона. Фойснер по сути ввел в электротехнику полные схемы с произвольным числом узлов и разработал эффективные для своего времени методы их исследования.

Он предложил использовать для анализа схемы с числом узлов, равным n, известный определитель полной схемы на n узлах, в котором слагаемые, включающие параметры недостающих ветвей в анализируемых схемах, приравнивались к нулю. Так, ниже представлена полная Z-схема на пяти узлах (рис. а) и её определитель (8), рассчитанный по (1).

Для анализа схемы на рисунке б, достаточно удалить из формулы (8) все слагаемые, в которые входят параметры отсутствующих элементов. В результате получим:

Много лет спустя были разработаны методы, реализующие этот подход для анализа и синтеза RLC-схем. Важно, что Фойснер сформулировал все свои результаты как для Z-, так и для Y-схем, одним из первых использовав принцип дуальности. Через 56 лет математик Кларк в журнале Лондонского математического общества повторно рассмотрел один метод наращивания Фойснера для доказательства формулы Кэли о числе деревьев T в полном графе. Формулу Кэли, , где q — узлов схемы (графа), Фойснер получил независимо от этого математика, заложившего основы теории графов.