О знаменитости

Биография

Фойснер, Фридрих Вильгельм: биография

Топологическое доказательство принципа взаимности

В работе Фойснера исследуется принцип взаимности и приводится его топологическое доказательство. Причем Фойснер представляет это доказательство всего лишь как побочный результат, отмечая, что его мог сделать ещё сам Кирхгоф.

Как известно, основанный на теореме взаимности принцип взаимности гласит: если ЭДС Е, действуя в некоторой ветви схемы, не содержащей других источников, вызывает в другой ветви ток I, то принесенная в эту ветвь ЭДС Е вызовет в первой ветви такой же ток I.

Обозначим проводник, в котором находится источник ЭДС, через а, следовательно, числитель ССФ Z(N) (6), который умножается на Е и дает ток этой ветви, равен .

Чтобы найти числитель выражения для тока в другой ветви b, поступим следующим образом. Предположим, что каждый отдельный проводник А образует закрытые контуры , , …, с постоянными токами интенсивности , , …, в направлении прохождения через а. Очевидно, что первый закон Кирхгофа по отношению к точке разветвления будет выполняться для совокупности этих токов при любых величинах I. Допустим, что в каждом проводнике цепи сумма протекающих через него токов дает результирующий ток i, тогда должно выполняться условие для каждого распределения сопротивлений в цепи:

Будем считать, что и . Следовательно, составляется из членов . Чтобы получить способ возможного составления распределения токов, следует помнить, что удаление какой-нибудь ветви контура K приводит к его разрыву и что, следовательно, интенсивность протекающего через него тока I будет равна нулю. При этом , не могут содержать сопротивления R проводников, образующих контур. Следовательно, если Е находится в а, то для получения числителя используются одновременно оба проводника а и k. Следует взять последовательность членов из , в которых не встречается R проводников, содержащихся в , присоединить к ним члены, которые не содержат R из , и так до использования всех контуров , , …, .

Для определения знака выбирают какое-либо направление проводника k в качестве положительного, затем при совпадении направления тока получается член с положительным знаком, при несовпадении с отрицательным.

Фойснер формулирует правило, согласно которому числитель есть сумма комбинаций из , , …, по µ-1 элементов, после удаления проводников которых остается одна замкнутая фигура, содержащая ?. Каждая комбинация умножается на сумму ЭДС, которые принадлежат замкнутой фигуре. ЭДС при этом считаются положительными по направлению, если в этом направлении положителен ток . Для определения тока в проводнике b, если ЭДС находится в а, используется замкнутый контур, который проходит через эти оба проводника (а и b). Тот же самый замкнутый контур используется для определения тока в а, если ЭДС находится в b. Тогда если в цепи проводников ЭДС из ветви а без изменения переносится в k, то в а будет действовать тот же самый ток, который раньше был в k.

Обобщенный метод контурных токов

Максвелл, по сообщению Джона Амброза Флеминга, изобретателя первой электронной лампы, названной впоследствии диодом, в своей последней университетской лекции показал другой вид разложения тока в цепи с проводниками. Судя по тому, как его описывает Флеминг, метод не является общеприменимым. Предполагается, что цепь таким образом лежит на плоскости, что проводники нигде не перекрываются. Окружность каждого контура, в котором предполагается один постоянный ток, проходится в определенном направлении (против часовой стрелки). Через каждый проводник внутри цепи течет два тока граничных контуров противоположных значений, и их разность и есть протекающий в этом проводнике ток. Ясно, что подобное расположение цепи на плоскости не всегда возможно, как, например, в цепи, полученной путем соединения двух противолежащих узлов в схеме моста Уитстона.

В работе приводится, по словам самого Фойснера, «небольшое изменение», позволяющее сделать метод общеприменимым. Можно, как показал Кирхгоф, для каждой цепи взять различные системы ?=n-m+1 замкнутых контуров, из которых можно составить все возможные в цепи замкнутые контура. Фойснер предлагает считать такой системой , , …, , при этом в каждом контуре протекает один постоянный ток , , …, . Для каждого контура и каждого проводника устанавливается какое-нибудь направление, в котором ток должен быть направлен положительно. Затем к каждому такому контуру следует применить закон Кирхгофа, что позволит получить ? линейных уравнений между Е, сопротивлениями цепи и , …, , откуда можно найти искомые токи.

Фойснер указывает на то, что определитель, который можно получить с помощью классической записи закона Кирхгофа, будет n-го порядка, а определитель, полученный по Максвеллу, только ?-го порядка. Таким образом, преимущества нового метода не так велики, как хотелось бы. Отдельные элементы формы Кирхгофа обычно также имеют ?-й порядок из-за (m-1) кратного появления коэффициентов ±1. К тому же у Максвелла образуется значительно большее количество взаимно уничтожающихся членов, следовательно, предложенная Максвеллом методика не имеет существенных преимуществ по сравнению с изначальным подходом Кирхгофа.

Заключение

Внимательное изучение работ Вильгельма Фойснера показывает, что достигнутые им научные результаты, важнейшие из которых были рассмотрены опередили свое время, и несли в себе потенциал для ускоренного развития анализа электрических цепей.

Развитие идей Фойснера стало уделом немногих энтузиастов, которые, как правило, не оставляли последователей. В результате, схемный подход к анализу цепей оставался в зачаточном состоянии, что привело в конечном итоге к кризису всего символьного анализа электрических цепей.

В издательстве Ульяновского государственного технического университета в 2009 году издана монография, посвященная истории развития схемного подхода В. Фойснера от его пионерских работ до наших дней.