Бибиков родился в 1743 г., на службу поступил в 1760 г. и, пользуясь покровительством графа П. И. Панина, быстро повышался в чинах, получая большие награды за незначительные отличия. 5 мая 1779 г. он был произведён уже в генерал-майоры, а в 1786 г. был генерал-поручиком.
Во время второй турецкой войны он, находясь во главе Кавказского отряда, решился на крайне опасный поход. Воспользовавшись отсутствием главного начальника кавказских войск, П. С. Потёмкина, он, несмотря на неудобное время (январь месяц), с одним Кавказским корпусом, не зная местности и без провианта, решился взять хорошо укрепленный город Анапу. Правда, взятие его нанесло бы сильный ущерб торговым интересам горцев и влиянию Турции на Кавказе, но для этого нужны были и значительные средства. Перейдя за Кубань по глубоким снегам в январе 1789 г., русские первое время встречали очень слабое сопротивление, но чем дальше подвигались, тем значительнее становились нападавшие на них отряды, и 15 февраля произошло первое серьёзное сражение, окончившееся победой русских войск. Помимо постоянных стычек, поход сильно затруднялся вследствие недостатка в провианте, разливов, частых горных потоков и т. п. Бибикову советовали вернуться, но он упорно продолжал идти вперед. Наконец 24 марта русские очутились в долине перед Анапой, где произошла упорнейшая битва; турки и горцы, несмотря на свое численное превосходство, были побеждены. Ослепленный этой удачей, Бибиков на другой же день пошел на приступ Анапы, не запасшись даже ни одной лестницей. И приступ, и отступление окончились громадной потерей русских войск. Решившись после этого вернуться обратно за Кубань, русские на своем пути претерпели много бедствий и от разливов, и от постоянных стычек с горцами, и от голода. А когда Бибиков арестовал генерала Офросимова за несогласие его идти более опасной дорогой, солдаты взбунтовались, и главнокомандующий должен был уступить. До места стоянки добралась только две трети всего отряда (5407 человек из 7609 человек вышедших в поход).
Узнав об этом походе, Екатерина II писала Потёмкину: «Экспедиция Бибикова для меня весьма странна и ни на что не похожа; я думаю, что он с ума сошел, держа людей сорок дней на воде, почти без хлеба». Назначено было следствие, и в мае 1790 г. Бибиков был уволен в отставку (его сменил А. Б. де Бальмен), а отряд его награждён особенной серебряной медалью на голубой ленте, с надписью: «За верность».
А. С. Пищевич, служивший на Кавказе под началом Бибикова, в своих воспоминаниях говорит о причинах Анапской экспедиции: «Начальство войск Кавказских перешло отбытием графа Салтыкова в руки генерал-поручика Юрия Богдановича Бибикова, человека падкого на деньги, и потому он положил сколь можно скорее обогатить себя выведением в расход суммы, на чрезвычайные издержки определённой; и так затеял зимой 1790 года поход за Кубань, а потом и к городу Анапе».
Оставшись не у дел, Бибиков умер в 1812 г.
