Происходил из рода Папириев, а точнее, из Папириев-плебеев. Был сыном Гая Папирия Карбона, претора 168 до н. э.
Был приверженцем Тиберия Семпрония Гракха. После убийства Тиберия Гракха Карбон и Марк Фульвий Флакк вошли в комиссию по перераспределению земли (должность triumvir agrorum dividendorum). В 131 до н. э. был избран народным трибуном. Во время трибуната внёс законопроект, в соответствии с которым предлагалось предоставить народным трибунам право переизбираться любое число раз. Публий Корнелий Сципион Эмилиан Африканский выступил против проекта и, несмотря на поддержку Гая Гракха, законопроект был провален. Вскоре Сципион таинственным образом умер в своём доме, и Цицерон сохранил версию о том, что к его смерти мог быть причастен Карбон.
В 120 до н. э. он первым из Карбонов стал консулом.
Цицерон в «Бруте» упоминает о значительных ораторских дарованиях Карбона и добавляет, что он смог бы стать великим политиком, если бы проявил «столько же рассудительности в политике, сколько дарования в красноречии». Цицерон описывает Карбона как оратора «со звучным голосом, гибким языком и язвительным слогом», который «соединял силу с необычайной приятностью и остроумием». Карбон, согласно Цицерону, был также «на редкость трудолюбив и прилежен и имел обыкновение уделять много внимания упражнениям и разборам». Он считался лучшим адвокатом своего времени.
Позднее Карбон был обвинён Луцием Лицинием Крассом в вымогательстве и был вынужден покончить жизнь самоубийством, приняв кантариды (шпанские мушки).
