Родился в дворянской семье Тверской губернии. Фамилия имеет болгарское или сербское происхождение и обозначает нижнее расширение полосы сабли, которое делалось для придания большей силы удару (от турецкого слова j?lman). С 1738 года на флоте, поступил на службу гардемарином. С 1743 мичман на Балтийском флоте. В ходе Семилетней войны 1756-1763 годов капитан 2-го ранга, последовательно командовал линейными кораблями «Шлиссельбург», «Полтава», «Рафаил». В 1760 году участвовал в осаде прусской крепости Кольберг. После окончания войны в 1763 году Елманова произвели в капитаны 1-го ранга и назначили командиром нового флагманского корабля «Св. Кир-Иоанн». С 1764 по 1768 год состоял главным командиром Казанского адмиралтейства.
С 1768 года в Кронштадте, на следующий год получил звание контр-адмирала и получил назначение в первую эскадру адмирала Григория Спиридова Первой Архипелагской экспедиции. Елманов состоял флагманом (на корабле «Северный Орел») в эскадре вице-адмирала Андерсона, конвоировавшей эскадру Спиридова до Копенгагена и далее до Англии. Отплыл в Средиземное море, но вследствие повреждения корабля «Северный Орел» вернулся в Портсмут. Перенес флаг на корабль «Европа», возглавил отставшую от Спиридова и Грейга часть эскадры. В феврале 1770 года у берегов Мореи (под Короном) соединился с Спиридовым.
После оставления русским флотом Наваринской бухты в мае 1770 Елманов возглавил эскадру, состоявшую из фрегата «Надежда Благополучия», пакетбота и трёх пинков. С этой эскадрой отправился с больными и ранеными в порт-Магон на острове Менорка, откуда вернулся к эскадре в порт Ауза только в январе 1771 года, почему и не участвовал в основных кампаниях экспедиции 1770 года (в том числе в Хиосском и Чесменском сражениях).
С марта 1771 года командовал отрядом судов, остававшихся в Аузе после ухода из нее основных морских сил к Дарданеллам. С июня 1771 года после отъезда адмирала Арфа Елманов возглавил третью эскадру экспедиции. В конце февраля 1772 года Елманову было поручено прекратить подвоз припасов из Архипелага в Константинополь и не дать выйти из Мраморного моря алжирской эскадре (12 судов). С эскадрой в 11 судов Елманов подошел к Дарданеллам и заставил алжирскую эскадру, показавшуюся было из Мраморного моря, венуться в пролив, после чего при входе в Дарданеллы Елманов частью потопил, частью сжег несколько мелких турецких судов. В октябре 1772 года награжден орденом Св. Анны.
В 1773 году, после перемирия, отправлен с дивизией из 7 судов Спиридовым для разорения малоазиатского побережья, дивизия Елманова сожгла бомбардировкой город Будрум, разрушила много зданий на острове Станчио (где сухопутный десант потерпел неудачу) и снова вернулась к Дарданеллам. В конце 1773 года, произведен в вице-адмиралы и вступил в командование всем Средиземноморским флотом вместо ушедшего по болезни Спиридова и, до конца войны держась у Дарданелл, продолжал тревожить турецкого побережья и острова посылкой отдельных небольших отрядов. После заключения Кучюк-Кайнарджийского мира в 1774-1775 годах руководил эвакуацией русской базы из Аузы и возвращением судов Первой Архипелагской экспедиции в Балтийское море.
По возвращении Балтийского флота в 1775 году заслужил благодарность Екатерины II: «Богу благодарение, вице-адмиралу Елманову спасибо» и орден Святого Александра Невского. 4 марта 1776 года Елманова назначили главным командиром Ревельского порта. Умер в 1778 году.
