Итальянец по происхождению, родом из местечка Кастильоне (отсюда добавленное к родовой фамилии Сальвемини пояснения из Кастильона). Начал изучать математику в университете Пизы, затем перебрался во франкоязычную Лозанну (где и взял себе новое имя). С 1751 г. преподавал в Утрехтском университете, с 1758 г. его ректор. В 1764 г. переехал в Берлин, где и провёл оставшиеся годы жизни, преподавая математику и работая в Берлинской обсерватории.
Среди оригинальных работ Кастильона — две статьи о кривой кардиоиде, другие исследования по геометрии.
Кастильон главным образом известен как публикатор. Он перевёл на французский язык «Универсальную арифметику» Ньютона и «Элементы физики» Локка, подготовил к печати переписку Лейбница и Бернулли, редактировал труды Эйлера.
