Согласно Цицерону Луций Папирий был первым в роду, кто стал именоваться Папирием, а не Паписием.
В 340 до н. э. консул Тит Манлий Империоз Торкват, оставивший свою должность по болезни, назначил претора Луция Папирия диктатором для продолжения войны против латинов. Луций Папирий выступил против антийцев, однако, простояв в их землях несколько месяцев, не добился никакого результата.
В 336 до н. э. он был избран консулом совместно с Цезоном Дуиллием. В тот год консулы успешно вели войну против авзонов, вступивших в союз с сидицинами.
Во время второго своего консульства Луций Папирий командовал войсками в войне против жителей Приверна, которых возглавлял некто Витрувий Вакк. Одержав лёгкую победу у стен Приверна, Луций Папирий соединился силами другого консула и осадил город.
В 318 до н. э. Луций Папирий получил должность цензора.
