По-видимому, происходил из немецкой семьи и начал обучение ремеслу у своего отца, также гравера. Затем учился у Джованни Вольпато, женился на его дочери, помогал мастеру в работе над копиями ватиканских росписей Рафаэля. В 1782 г. отправился во Флоренцию для работы с произведениями из галереи Уффици. Каталог гравюр Моргена, изданный в 1810 г., включает 200 работ, в том числе «Преображение» Рафаэля, «Голову Спасителя» Леонардо да Винчи, «Колесницу Авроры» Гвидо Рени, «Магдалину» Мурильо, портреты Данте, Тассо, Ариосто, Петрарки и др.
Морген пользовался исключительно высокой репутацией. В 1812 г. он был приглашён в Париж ко двору Наполеона и удостоен различных почестей. Высоко оценивая художественную манеру Моргена, немецкий историк искусства Пауль Кристеллер отмечает: «Офортом Морген пользуется лишь для нанесения на доску предварительного рисунка. Все линии он проводит резцом с величайшей ясностью и чистотой».
