В 1927 окончил МГУ, в 1927—1930 работал в Комиссии естественных производительных сил АН.
В 1955 году подписал «Письмо трёхсот».
С 1966 по 1972 год — президент ВОГиС им. Н. И. Вавилова.
Награждён золотой медалью им. И. И. Мечникова по совокупности научных работ в области экспериментальной генетики и биологии развития (1970 год).
Астауров экспериментально доказал ведущую роль ядра в наследовании признаков вида и впервые разработал способы направленного получения 100 % особей одного пола на тутовом шелкопряде, заложив тем самым основы теории регуляции пола. Борис Львович первым наблюдал у шелкопряда мутации, индуцированные рентгеновским и гамма-излучением.
