Фойснер, Фрідріх Вільгельм: биография

Він запропонував використовувати для аналізу схеми з числом вузлів, рівним n, відомий визначник повної схеми на n вузлах, в якому складові, що включають методи відсутніх гілок в аналізованих схемах, прирівнювалися до нуля. Так, нижче представлена ??повна Z-схема на п'яти вузлах (рис. а) і її визначник (8), розрахований за (1).

Для аналізу схеми на малюнку б, достатньо видалити з формули (8) всі складові, в які входять параметри відсутніх елементів. У результаті отримаємо:

Багато років по тому були розроблені методи, що реалізують цей підхід для аналізу і синтезу RLC-схем. Важливо, що Фойснер сформулював усі свої результати як для Z-, так і для Y-схем, одним з перших використавши принцип дуальності. Через 56 років математик Кларк в журналі Лондонського математичного товариства повторно розглянув один метод нарощування Фойснера для доказу формули Келі про кількість дерев T в повному графі. Формулу Келі,T=qq- 2, де q - вузлів схеми (графа), Фойснер отримав незалежно від цього математика, заклав основи теорії графів.

Топологічний доказ принципу взаємності

У роботі Фойснера досліджується принцип взаємності і наводиться його топологічний доказ. Причому Фойснер представляє цей доказ всього лише як побічний результат, відзначаючи, що його міг зробити ще сам Кірхгоф. Як відомо, заснований на теоремі взаємності принцип взаємності говорить: якщо ЕРСЕ, діючи в деякій гілки схеми, що не містить інших джерел, викликає у іншої гілки струмI, то принесена в цю гілку ЕРСЕвикличе в першій гілки такий же струмI.

Позначимо провідник, в якому знаходиться джерело ЕРС, через а, отже, чисельник ССФ Z (N) (6), який множиться на Е і дає струмI_aцієї гілки, дорівнює?N_a.

Щоб знайти чисельник вирази для струмуi_kу іншій гілціb, поступимо таким чином. Припустимо, що кожен окремий провідникАутворює закриті контуриK₁,K₂, ...,K_pз постійними струмами інтенсивностіI₁,I₂, ...,I_pв напрямку проходження черезА. Очевидно, що перший закон Кірхгофапо відношенню до точки розгалуження буде виконуватися для сукупності цих струмів при будь-яких величинахI. Припустимо, що в кожному провіднику ланцюга сума протікають через нього струмів дає результуючий струмi, тоді має виконуватися умова для кожного розподілу опорів в ланцюзі:

Будемо вважати, щоI_f=Z_fE/ ?Nі. Отже,Z_fскладається з членів?N_a. Щоб отримати спосіб можливого складання розподілу струмів, слід пам'ятати, що видалення який-небудь гілки контуру K призводить до його розриву і що, отже, інтенсивність протікає через нього струмуIбуде дорівнює нулю. При цьомуI_f,Z_fне можуть містити опоруRпровідників, що утворюють контур. Отже, якщоЕзнаходиться в а, то для отримання чисельникаi_kвикористовуються одночасно обидва провідникиаіk. Слід взяти послідовність членів з?N_a, в яких не зустрічаєтьсяRпровідників , що містяться вK₁, приєднати до них члени, які не містятьRзK₂, і так до використання всіх контурівK₁,K₂, ...,K_g.

Для визначення знака вибирають будь-який напрямок провідникаkяк позитивного, потім при збігу напрямку струму виходить член з позитивним знаком, при розбіжності з негативним.