Карацуба Анатолій Олексійович: биография

Розглянемо систему рівнянь

деN_i- задані додатні цілі числа мають однаковий порядок зростання,, а - невідомі, але також позитивні цілі числа. Ця система розв'язана, якщоk>cnlogn, а якщоk<C₁n, то існують такіN_i-ті, що система не має рішень.

У дослідженнях з проблеми Артіна проp-адічеськімі поданні нуля формою довільного ступеня результати А. А. Карацуби показали, що замість раніше запланованого статечного зростання числа змінних для нетривіального подання нуля формою, це число змінних має рости майже експоненціально залежно від ступеня. А. А. Карацуба разом зі своїм учнем Г. І. Архиповим довели, що для будь-якого натурального числаrіснує такеn₀=n₀(r), що для будь-якого існує форма ступеня, меншоюn, з цілими коефіцієнтами, число змінних якійk,,

і яка має тільки тривіальне подання нуля в 2-адічеськімі числах, а також отримали аналогічний результат для довільного непарного простого модуляp.

А. А. Карацуба створив (1993-1999) новий метод оцінок коротких сум Клоостермана, тобто тригонометричних сум виду

деnпробігає деякий безлічAчисел, взаємно простих зm, число елементів в якому істотно меншеm, а символn^*позначає вирахування, зворотний доnпо модулюm:.

До початку 1990-х рр.. оцінки такого типу були відомі в основному, для сум, число доданків у яких перевершувало (Г. Д. Клоостерман, І. М. Виноградов, Г. Сальє, Л. карлиця, С. Учіяма, А. Вейль). Виняток складали спеціальні модулі видуm=p^?, деp- фіксований просте число, а показник ? необмежено зростає (цей випадок був досліджений О. Г. Постникова методом І. М. Виноградова). Метод А. А. Карацуби дозволяє оцінювати суми Клоостермана, число доданків яких не перевершує, а в деяких випадках - навіть, де - як завгодно мале фіксоване число. Остання стаття А. А. Карацуби на цю тему була опублікована вже після його смерті.

Різні аспекти методу А. А. Карацуби знайшли застосування у вирішенні наступних завдань аналітичної теорії чисел:

• знаходження асимптотик сум дробових часток вигляду n

  n

  n

  n

• знаходження нижньої межі для кількості рішень нерівностей виду n

  n

  n

  n

• точність наближення довільного дійсного числа з відрізка [0,1] дробовими частками вигляду n

  n

  n

  n

• уточнення постійноїcу нерівності Бруна-Титчмарш n

  n

  n

  n

• нижня оцінка найбільшого простого дільника твори чисел виду: n

  n

  n+ 2, (Д. Р. Хіз-Браун);

  n

  n

• доказ нескінченності простих чисел видуa+b(Дж. Фрідлендер, Г. Іванець);

• комбінаторні властивості безлічі чиселn^*(modm), (А. А. Глібічук).

Дзета-функція Рімана

У 1984 році А. А . Карацуба встановив, що при фіксованому з умовою, достатньо великомуTі,, проміжок (T,T+H) містить не меншcHlnTречових нулів дзета-функції Рімана.

Це твердження в 1942 році було висловлено в якості гіпотези А. Сельбергом, який сам довів його справедливість для випадку. Оцінки А. Сельберга і А. А. Карацуби є неулучшаемимі по порядку зростання прі.

А. А. Карацубе належить також ряд результатів про розподіл нулів ? (s) на «коротких» проміжках критичної прямої. Він довів, що аналоггіпотези Сельбергасправедливий для «майже всіх» проміжків (T,T+H], , де - як завгодно мале фіксоване додатне число. А. А. Карацуба розробив (1992) новий підхід до дослідження нулів дзета-функції Рімана на «надкоротких» проміжках критичної прямий, тобто на проміжках (T,T+H], довжинаHяких зростає повільніше будь-який, навіть як завгодно малої, ступеняT. Зокрема, він довів, що для будь-яких заданих чисел, з умовою майже всі проміжки (T,T+H] при містять не менш нулів функції. Ця оцінка дуже близька до тієї, що випливає з гіпотези Рімана.