Карацуба Анатолій Олексійович: биография

А. А. Карацубой створений новий метод дослідження нулів функцій, які представлені у вигляді лінійних комбінаційL-рядів Діріхле . Найпростішим прикладом функції такого роду є функція Девенпорта-Хейльбронн, обумовлена ??рівністю

де ? - неглавний характер по модулю 5 (? (1) = 1, ? (2) =i, ? (3) = -i, ? (4) = - 1, ? (5) = 0, ? (n+ 5) = ? (n) для будь-якогоn),

Дляf(s) гіпотеза Рімана невірна, однак критична пряма містить, тим не менш, аномально багато нулів.

А. А. Карацуба встановив (1989), що проміжок (T,T+H],, містить не менш

нулів функції. Подібні результати були отримані А. А. Карацубой і для лінійних комбінацій, що містять довільне (кінцеве) число доданків; показник ступеня замінюється при цьому меншим числом ?, що залежать лише від виду лінійної комбінації.

NА. А. Карацубе належить принципово новий результат в багатовимірної проблеми дільників Діріхле, яка пов'язана з перебуванням при числаD_k(x) рішень нерівності в натуральних числах. ДляD_k(x) є асимптотична формула виду

в якійP_{k- 1}(u) - многочлен (k- 1)-го ступеня, коефіцієнти якого залежать відkі можуть бути знайдені явно, аR_k(x) - залишковий член, всі відомі (до 1960 р.) оцінки якого мали вигляд

де,a,b,c- абсолютні позитивні постійні.

А. А . Карацуба отримав більш точну оцінкуR_k(x), в якій величина ? (k) мала порядокk^{- 2 / 3}та спадала набагато повільніше, ніж ? (k) у попередніх оцінках. Оцінений А. А . Карацуби є рівномірною поXіk; зокрема, величинаkможе рости в міру зростанняx(як деяка ступінь логарифмаx). (Схожий, але більш слабкий результат був отриманий в 1960 р. німецьким математиком Х. Е. Рихерт, робота якого залишалася невідомою радянським математикам щонайменше до середини 1970-х рр. .).

Висновок оцінкиR_k(x) спирається на ряд тверджень, по суті еквівалентних теоремі про кордон нулів дзета-функції Рімана, одержуваної методом І. М. Виноградова, тобто теоремі про те, що ? (s) не має нулів в області

А. А. Карацуба встановив (2000) зворотний зв'язок оцінок величинR_k(x) з поведінкою ? (s) поблизу прямій. Зокрема, він довів, що якщо ? (y) - довільна незростаюча функція з умовою, така, що при всіх виконується оцінка

то ? (s) не має нулів в області

(c,c₁- абсолютні постійні).

А. А. Карацубой введені та досліджені функціїF(T;H) іG(s₀; ?), які визначаються рівностями

ТутT- досить велике позитивне число,,s₀= ?₀+iT,,. Нижні оцінки величинFіGпоказують, наскільки великі (за абсолютною величиною) значення може приймати ? (s) на коротких відрізках критичної прямій або в малих околицях точок, що у критичній смузі. Випадок був досліджений раніше Рамачандра; випадок ?>c, деc- досить велика постійна, тривіальний.

А. А. Карацуба довів, зокрема, що якщо величиниHі ? перевершують деякі досить малі константи, то справедливі оцінки

деc₁,c₂- деякі абсолютні постійні.

А. А. Карацубой отримано ряд нових результатів, що стосуються поведінки функції, званої аргументом дзета-функції Рімана на критичної прямий (тут - приріст довільній безперервної гілки arg? (S) вздовж ламаної лінії, що з'єднує точки 2,2 +itі). У їх числі - теореми про середні значення функціїS(t) та її первісної на відрізках дійсної прямої, а також теорема про те, що кожен проміжок (T,T+H] при містить не менш