Карацуба Анатолій Олексійович: биография

Цей новий підхід, знайдений О. А. Карацубой, привів до новогоP-адічеськімі доведенню теореми про середню І. М. Виноградова, що грає центральну роль у методі тригонометричних сум Виноградова.

Ще одним елементомp-адічеськімі методу А. А. Карацуби є перехід від неповних систем рівнянь до повних за рахунок локальногоp-адічеськімі зміни невідомих.

Нехайr- довільне натуральне число,, і ціле числоtвизначається нерівностями. Розглянемо систему рівнянь

А. А. Карацуба довів, що для числа рішеньI_kцієї системи рівнянь при справедлива оцінка

Для неповних систем рівнянь, в яких змінні пробігають числа з малими простими дільниками, А. А. Карацуба застосував мультиплікативний зрушення змінних. Це призвело до якісно нової оцінки тригонометричних сум і нової теоремі про середню для таких систем рівнянь.

p-адічеськімі метод А. А. Карацуби включає в себе способи оцінок міри безлічі точок з малими значеннями функцій через значення їх параметрів (коефіцієнти і т. п.) і, назад, оцінок цих параметрів через міру множини в речовій таp-адічеськімі метриках. Особливо яскраво ця сторона методу А. А. Карацуби проявилася при оцінках тригонометричних інтегралів, що призвело до вирішення проблеми Хуа Ло-кена. У 1979 році А. А. Карацуба разом зі своїми учнями Г. І. Архиповим і В. Н. Чубаріковим повністю вирішили проблему Хуа Ло-кена, поставлену в 1937 році, яка полягала у визначенні показника збіжності інтеграла:

де - фіксоване число.

У даному випадку показником збіжності називається таке значення ?, що сходиться при і розходиться прі, де як завгодно мало. Було встановлено, що інтеграл сходиться при і розходиться прі.

Тоді ж було вирішено і аналогічна проблема для інтеграла

де - цілі числа, що задовольняють умовам

А. А. Карацубой і його учнями було встановлено, що інтеграл сходиться, якщо і розходиться, якщо.

Інтеграли і виникають при вирішенні так званої проблеми Террі (проблеми Террі-Ескотта). А. А. Карацубой і його учнями було отримано ряд нових результатів, пов'язаних з багатовимірним аналогом проблеми Террі. Зокрема, ними було встановлено, що якщоF- поліном відrзмінних () виду

з нульовим вільним коефіцієнтом,, -m-мірний вектор, складений з коефіцієнтівF, то інтеграл

сходиться при 2k>mn, деn- найбільше з чисел. Цей результат, не будучи остаточним, породив новий напрямок в теорії тригонометричних інтегралів, пов'язане з уточненням меж для показника збіжності (І. А. Ікромов, М. А. Чахкієв та інші).

У 1966-1980 роках А. А. Карацуба створив (за участю своїх учнів Г. І. Архипова і В. Н. Чубарікова) теорію кратних тригонометричних сум Г. Вейля, тобто сум виду

де,

A- набір речових коефіцієнтів. Центральним моментом цієї теорії, як і теорії тригонометричних сум І. М. Виноградова, є наступнатеорема про середню.

Теорема про середню і лема про кратності перетину багатовимірних паралелепіпедів лежать в основі оцінки кратній тригонометричної суми, отриманої А. А. Карацубой. Якщо позначити черезQ₀найменше спільне кратне чисел з умовою, то при справедлива оцінка

де ? (Q) - кількість дільників числаQ, а ? (Q) - кількість різних простих дільників числаQ.

Застосовуючи сконструйовану нимp-адічеськімі форму кругового методу Харді-Літтлвуда-Рамануджана-Виноградова до оцінок тригонометричних сум, в яких підсумовування ведеться по числах з малими простими дільниками, А. А. Карацуба отримав нову оцінку відомої функції ХардіG(n) у проблемі Варінга (при):

У своїх подальших дослідженнях з проблеми Варінга А. А. Карацуба отримав наступне двовимірне узагальнення цієї проблеми: