Биография
Родился 28 февраля 1898 года в Шварценфельс, Германская империя.
Первая мировая война
Поступил на военную службу добровольцем в мае 1915 года. Воевал на Западном фронте в пехоте, награждён Железным крестом 2-й степени. После тяжёлого ранения в ноябре 1916 года переведён в артиллерию. В 1918 году получил ещё 2 ранения. Войну закончил в звании вице-фельдфебеля.
Между мировыми войнами
В январе 1919 года уволен с военной службы, поступил на учёбу на медицинском факультете. В первом семестре прервал учёбу, отправившись воевать в составе Добровольческого корпуса Эппа (нем. Freikorps Epp). Затем завершил медицинское образование, получил степень доктора медицины и открыл частную стоматологическую клинику.
В апреле 1937 года вновь добровольно поступил на военную службу (в возрасте 39 лет). Закончил курсы подготовки офицеров, в декабре 1937 года получил звание лейтенанта резерва (то есть без окончания военного училища).
С января 1938 года — командир взвода в танковом батальоне. Участвовал в занятии Судетской области.
Вторая мировая война
Участвовал в Польской кампании, награждён планкой к Железному кресту 2-й степени (повторное награждение).
С ноября 1939 года — командир роты, старший лейтенант.
Во время Французской кампании был дважды ранен (остался в строю), получил Золотой знак за ранения и награждён Железным крестом 1-й степени.
В мае 1941 года произведён в звание капитана.
С 22 июня 1941 года капитан Бёке участвовал в нападении Германии на СССР, в качестве командира танковой роты 6-й танковой дивизии, наступавшей в общем направлении на Ленинград (в октябре 1941 переброшена в район Вязьмы, затем Ржева, в общем направлении на Москву).
С января 1942 года — командир танкового батальона, с августа 1942 года — майор.
С ноября 1942 года 6-я танковая дивизия (после отдыха во Франции в мае-октябре 1942 года) на Сталинградском направлении (Котельниково). К марту 1943 года дивизия отступила в район Харькова. В январе 1943 года Бёке был награждён Рыцарским крестом.
С июля 1943 года — 6-я танковая дивизия участвует в Курской битве (на южном фасе Курской дуги). 13 июля майор Бёке ранен (остался в строю), 14 июля принимает командование 11-м танковым полком.
За бои на Курской дуге майор Бёке в августе 1943 года награждён Дубовыми листьями к Рыцарскому кресту.
С ноября 1943 года — подполковник, в феврале 1944 года за бои на Украине награждён Мечами (№ 49) к Рыцарскому кресту с Дубовыми листьями, с мая 1944 года — полковник.
С июля 1944 года — командир 106-й танковой бригады на Западном фронте.
С марта 1945 года — командир 13-й танковой дивизии. 20 апреля 1945 года произведён в звание генерал-майора.
После капитуляции Германии 8 мая 1945 года Бёке сумел отвести остатки своей дивизии на запад и сдаться в американский плен.
Послевоенные годы
Отпущен из плена в 1950 году, вернулся в Германию и вновь стал работать стоматологом. Погиб 12 декабря 1978 года в автомобильной аварии в Хагене.
