Родился в Смоленске в очень бедной семье. Учился в Смоленской гимназии. По рекомендации директора гимназии Л. Ф. Людоговского в 1823 году был принят на медицинский факультет Московского университета. Закончив 7 сентбря 1827 года обучение университете с отличием, был оставлен при университете для подготовки к докторскому экзамену. В 1828 году был назначен там же субинспектором (помощником инспектора). В 1838 году получил степень доктора медицины за диссертацию «De haemorrhoidibus» (M., 1838). В 1847—1848 годах заведовал холерною больницею для студентов. В 1852 году назначен адъюнкт-профессором по кафедре государственного врачебноведения и стал читать лекции гигиены и диететики. Кроме статей в специальных журналах, Клименков перевёл с французского: «О венерических болезнях и их прививании» Рикора (М., 1843); опубликовал: «О холере и её лечении» (М., 1855).
По воспоминаниям Ф. И. Буслаева «Степан Иванович Клименков был медиком очень искусным и имел большую практику…Деятельность его была неимоверная: вечно суетится, то в аудиториях, то у нас в номерах, то в студенческой больнице, а между тем рыщет по всей Москве, посещая своих больных, а вечера, чтобы отдыхать от своих трудов и занятий, обыкновенно проводил в клубе за картами. Он был человек очень добрый, ласковый, и студенты его любили».
20 февраля 1852 года С. И. Клименков был приглашён к больному Н. В. Гоголю.
