Происходил из рода караимского гахама Исаака бен Шеломо Эль-Дура. Его отец, Яков Маркович Кокенай, работал учителем в школе. Борис окончил пять классов в средней школе Феодосии, однако вынужден был прекратить обучение из-за болезни. После этого в течение нескольких лет он работал учителем в сельских школах Крыма. После установления в Крыму советской власти вступил в Учительский институт Феодосии, но во время голода в 1921—1922 годах переехал в Ростов-на-Дону, где работал телеграфистом.
Владел караимским, крымскотатарским, турецким, арабским и французским языками. Автор караимско-русского словаря. Статьи Б. Кокеная по истории и культуре крымских караимов публиковались в журналах «Mysl Karaimska», «Karaj Awazy», «Onarmach».
Проживая в 1942 году в оккупированном Ростове, Б. Кокенай, совместно с юристом М. Демидовым, разъяснял оккупационным властям вопрос об этнической принадлежности караимов. Он перевёл на немецкий язык отрывки собственного сочинения «Крымские караимы», и тем самым внёс свою лепту в избавление караимов от уничтожения.
Архив Б. Кокеная, в том числе и ценное собрание древних рукописей, книг, фольклорного материала находятся в библиотеке Вильнюсского университета и в отделении Института востоковедения в С.-Петербурге.
Труды
- Borys Kokenaj Med?uma, karaj bitigi // Aleksander Mardkowicz Karaj Awazy. — ?uck: 1934. — № 6. — С. 14—17.
- Med?uma — karaimska ksi??ka / Borys Kokenaj; T?umacz Anna Sulimowicz. — [Tis?em?eri Askan?yknyn — Okruchy przesz?o?ci]. — T?umaczenie artyku?u opublikowanego w Karaj Awazy 1933, z. 6, s. 14 — 17 // Awazymyz — 2007, z. 2 (16), s. 3-5 (польск.)
- Borys Kokenaj Ata-sez?eri Krym?y Karaj?arnyn // Aleksander Mardkowicz Karaj Awazy. — ?uck: 1935. — № 8. — С. 19—22.
- Библиография / Б. K. [Борис Кокенай]. — [К выборам гахама]. // Караимское слово — 1913, z. 2, s. 20 (рус.)
- Посещение Императором Александром I Кале / Б. K. [Борис Кокенай]. // Караимское слово — 1913, z. 3-4, s. 3-4 (рус.)
- Stosunki agrarne Karaim?w na Krymie : (Zarys statystyczny) / Borys Kokenaj. // My?l Karaimska — 1929, T. 2, z. 1, s. 32-36 (польск.)
- Bir-nie?a bergianliar Karaj sioz-bitiktian : (Bibliografiafijasyndan Tenachnyn redakcijasynda J. Maleckinin.) / Malecki, J. [Borys Kokenaj]; Malecki, J. [Jakub Malecki]. — Tekst karaimski // Onarmach — 1939, z. 3, s. 25-31
Биографические очерки
- Sulimowicz Anna, Jankowski Henryk Borys Kokenaj — Kilka s??w o autorze // Awazymyz. — 2007. — № 2 (16). — С. 15. (польск.)
- Библиография / Б. K. [Борис Кокенай]. // Караимское слово — 1913, z. 5, s. 23 (рус.)
