Происходил из древнего рода кахетинских князей Андроникашвили. Сын князя Мелхиседека (Малхаза, 1773—1822) и его жены царевны Мариам Арчиловны (1775—1854), дочери царевича Арчила и племянницы имеретинского царя Соломона I, сестры имеретинского царя Соломона II; бабка его, царевна Елена, была дочерью царя Грузии Ираклия II.
Службу начал в 1817 году юнкером в лейб-гвардии Конном полку, откуда, семь лет спустя, в чине майора перевелся на Кавказ, вступив в ряды Нижегородского драгунского полка.
Здесь вскоре представился для него случай боевых отличий: возгоревшаяся в 1826 г. война с Персией поставила Андронникова ближайшим участником военных действий. В сражении при Елизаветполе, в то время, когда на левом фланге и в центре наши войска уже могли торжествовать победу, на правом фланге нам грозило поражение. Персидские войска, опрокинув два слабых казачьи полка, уже обходили линию наших войск, когда Андронников получил приказание своим дивизионом нижегородцев атаковать обходную персидскую колонну. Андронников обскакал неприятеля справа и ударил на него во фланг. По словам очевидцев, «это была одна из самых стремительных, бурных атак, — и все, что попало под этот несущийся ураган, было смято и стоптано. Эскадроны Андронникова врезались в самую середину неприятельских войск и произвели в них страшное опустошение». «Только гористая, изрытая оврагами, местность, — доносил потом командир Нижегородского полка полковник Шабельский, — спасла неприятеля от истребления и не дозволила нанести ему такой вред, какой бегущая и расстроенная пехота должна была ожидать от кавалерии». Напрасно Андронников пытался ещё раз обскакать неприятеля, чтобы замедлить его бегство и подставить под удар нашей пехоты. Местность была адская и только уже перед самым Куракчайским ущельем Андронникову удалось, наконец, отрезать часть вражеских батальонов и изрубить их в рукопашной схватке. Таким образом успех был обеспечен по всей линии. За это дело Андронников был награждён орденом св. Владимира 4-й степени с бантом.
В кампанию 1827 г. против персидских войск Андронников отличился в бою при Джеван-Булахе, где его 1-й дивизион, вместе со 2-м дивизионом Нижегородцев, в решительную минуту опрокинули огромную конную массу персов и, прорвав центр их боевого порядка, кинулись на каменистую гору, где под сенью особого «победного» знамени главнокомандующий персидской армией, принц Аббас-Мирза, наблюдал за ходом боя. Аббас-Мирза едва ускакал от наших драгун, но знамя и шесть знатных вельмож его свиты, среди которых был ближайший помощник главнокомандующего Наджав-хан, после рукопашной схватки, в которой Андронников был ранен пулей в голову, были взяты в плен. За это дело Андронников был награждён орденом св. Анны 2-й степени. Рана не помешала Андронникову участвовать во взятии в том же году крепостей Сардар-Абад и Эривань, за подвиги под стенами которых он был произведен в подполковники.
Едва закончилась война с Персией, началась с Турцией — и Андронников во главе своего 1-го дивизиона Нижегородцев очутился под стенами Ахалцыхе.
Здесь 5 августа 1828 г. внезапно разыгрался горячий кавалерийский бой, который окончился для нас победой единственно благодаря доблести Андронникова. Прикрытый со стороны Ахалцыха сильным редутом, лагерь осадного корпуса не был обеспечен с левого фланга. Чтобы обезопасить его, Паскевич приказал батальону егерей заложить редут на правом берегу реки в стороне деревни Марда. Турки потеснили егерей, на помощь последним двинуты были Нижегородские драгуны, которые прогнали турок. Преследуя их, 2-й эскадрон зарвался, потерял связь с полком и был окружен тысячными толпами турок. Гибель его казалась неизбежной. Заметив критическое положение своего 2-го эскадрона, Андронников, под первым впечатлением, один помчался к нему, был окружен турками и едва не попался в плен. Пробившись назад, он подхватил 1-й эскадрон с 2-мя орудиями и понесся на выручку. Произошёл короткий, но горячий бой — турки бежали, оставив в руках Нижегородцев два знамени. За это дело Андронников был произведен в полковники, а за участие во взятии Ахалкалаки награждён алмазными знаками к ордену св. Анны 2-й степени.
