Уже в музыкальной школе проявил незаурядные способности к исполнительской деятельности. В 1965 г. в составе ансамбля был на гастролях в Берлине, где встречался с Л. Армстронгом и получил от него напутствие для занятий джазом.
После окончания средней школы добровольно пошел служить в Воздушно-десантные войска (1968—1970), прошёл горячие точки того времени — Чехословакию, полуостров Даманский. Получил звание гвардии старшины, был ранен.
Окончил Братское музыкальное училище (1975), после окончания Алма-Атинской консерватории (1980) стажировался в Ленинградской консерватории. Среди его учителей был солист Симфонического оркестра ленинградской филармонии Вениамин Марголин. Во время обучения активно концертировал, был победителем конкурсов исполнителей на духовых инструментах.
После переезда в Москву (1981) работал в ряде симфонических и эстрадно-симфонических оркестров. С 1983 г. начал преподавательскую деятельность в различных учебных заведениях г. Москвы: музыкальных училищах — 2-м МОМУ («Царицынском»), им. Ипполитова-Иванова, им. Гнесиных, в Государственном музыкальном колледже эстрадного и джазового искусства, в вузах — Высшей школе изящных искусств, Российской Академии музыки им. Гнесиных. С 1993 г. работал в Московском государственном университете культуры и искусств, вёл классы трубы, ансамбля, оркестра, исполнительской методики, с 1999 г. заведовал кафедрой эстрадных оркестров и ансамблей.
Деятельность Е. А. Савина складывалась в сферах академической, эстрадной и джазовой музыки. Он приглашался для участия в концертах оркестров под управлением Е. А. Мравинского, Г. Н. Рождественского, исполнял солирующие партии в таких сочинениях, как «Озорные частушки» Р. К. Щедрина и Концерт № 1 для фортепиано и трубы с оркестром Д. Д. Шостаковича. Работал в Международном оркестре в Вене под управлением Зубина Меты, успешно гастролировал в Италии, США и других странах. Играл в эстрадно-симфонических оркестрах под управлением Ю. В. Силантьева, А. В. Кальварского и др. Участвовал в джаз-фестивале в Гаване, руководил джазовыми коллективами, в том числе ансамблем «Серебряные трубы» и оркестром «Университет-бэнд». Его деятельность в сфере джаза была высоко оценена такими мастерами, как Уинтон Марсалис, Мейнард Фергюсон, Джеймс Моррисон, Артуро Сандоваль, Валерий Пономарёв.
Е. А. Савин — автор уникальной методики обучения на духовых инструментах. Он приглашался для проведения мастер-классов во многие учебные заведения России и зарубежных стран (Германии, Австралии, Японии, Швейцарии и др.), его деятельность получила международное признание.
