Анрі Пуанкаре: биография
nnnВін все збагнув, всі поглибив. Володіючи надзвичайно винахідливим розумом, він не знав меж своєму натхненню, невтомно прокладаючи нові шляхи, і в абстрактному світі математики неодноразово відкривав незвідані області. Усюди, куди тільки проникав людський розум, хоч би важкий і тернистий не був його шлях - чи то проблеми бездротової телеграфії, рентгенівського випромінювання або походження Землі - Анрі Пуанкаре йшов поруч ... Разом з великим французьким математиком від нас пішов єдина людина, розум якого міг охопити все, що створено розумом інших людей, проникнути в саму суть всього, що спіткала на сьогодні людська думка, і побачити в ній щось нове.
n
Автоморфні функції
Протягом XIX століття практично усі провідні математики Європи взяли участь у розвитку теорії еліптичних функцій, які опинилися надзвичайно корисними при рішенні диференціальних рівнянь. Все ж таки ці функції не цілком виправдали покладені на них надії, і багато математиків стали замислюватися над тим, чи не можна розширити клас еліптичних функцій так, щоб нові функції були застосовні і для тих рівнянь, де еліптичні функції марні.
Пуанкаре вперше знайшов цю думку в статті Лазаря Фукса, найвизначнішого в ті роки фахівця з лінійним диференціальним рівнянням (1880). Протягом декількох років Пуанкаре далеко розвинув ідею Фукса, створивши теорію нового класу функцій, який він, з звичайним для Пуанкаре байдужістю до питань пріоритету, запропонував назватифуксови функції(фр.les fonctions fuchsiennes) - хоч мав усі підстави дати цього класу своє ім'я. Справа закінчилася тим, що Фелікс Клейн запропонував назву «автоморфні функції», яке і закріпилося в науці. Пуанкаре вивів розкладання цих функцій в ряди, довів теорему додавання і теорему про можливість Уніформізація алгебраїчних кривих (тобто уявлення їх через автоморфні функції; це 22-я проблема Гільберта, вирішена Пуанкаре в 1907 році). Ці відкриття «можна по справедливості вважати вершиною всього розвитку теорії аналітичних функцій комплексної змінної в XIX столітті».
При розробці теорії автоморфних функцій Пуанкаре виявив їх зв'язок з геометрією Лобачевського, що дозволило йому викласти багато питань теорії цих функцій на геометричному мовою. Він опублікував наочну модель геометрії Лобачевського, за допомогою якої ілюстрував матеріал з теорії функцій.
Після робіт Пуанкаре еліптичні функції з пріоритетного напряму науки перетворилися в обмежений приватний випадок більш потужної загальної теорії. Відкриті Пуанкаре автоморфні функції дозволяють вирішити будь-яке лінійне диференціальне рівняння з алгебраїчними коефіцієнтами і знаходять широке застосування в багатьох областях точних наук.
Диференціальні рівняння і математична фізика
Після захисту докторської дисертації, присвяченої вивченню особливих точок системи диференціальних рівнянь, Пуанкаре написав ряд мемуарів під загальною назвою «Про криві, визначені диференціальними рівняннями» (1881-1882 - для рівнянь 1-го порядку, доповнив в 1885-1886 роках для рівнянь 2-го порядку). У цих статтях він побудував новий розділ математики, який отримав назву «якісна теорія диференціальних рівнянь». Пуанкаре показав, що навіть якщо диференціальне рівняння не вирішується через відомі функції, тим не менше з самого виду рівняння можна отримати велику інформацію про властивості і особливості поведінці сімейства його рішень. Зокрема, Пуанкаре досліджував характер ходу інтегральних кривих на площині, дав класифікацію особливих точок (сідло, фокус, центр, вузол), ввів поняття граничного циклу та індексу циклу, довів, що число граничних циклів завжди звичайно, за винятком декількох спеціальних випадків. Пуанкаре розробив також загальну теорію інтегральних інваріантів і рішення рівнянь у варіаціях. Для рівнянь в кінцевих різницях він створив новий напрям - асимптотичний аналіз рішень. Всі ці досягнення він застосував для дослідження практичних задач математичної фізики і небесної механіки, а використані методи стали основою його топологічних робіт.
