Борис и его младший брат Юрий Собинов (1897—1920) был детьми знаменитого певца от первого брака с актрисой Марией Коржавиной. Их родители расстались в 1898 г., однако Леонид Собинов продолжал близко общаться со своей первой семьёй и обоими детьми.
Оба брата служили в царской армии, а во время гражданской войны — в белогвардейских рядах. Юрий был убит под Мелитополем, Борису удалось уехать в Германию с Врангелем. В Берлине Собинов-младший на протяжении 1925—1941 гг. выступал в концертах как солист и концертмейстер. В 1931 году Борис Собинов сопровождал своего отца в качестве аккомпаниатора в гастрольной поездке по Европе (Финляндия, Эстония, Польша, Балканы, Германия и Франция).
В 1945 году после взятия Берлина советскими войсками Борис Собинов жил в американской зоне оккупации. Он был приглашён устроить концерт для русских солдат, арестован НКВД, переправлен в Минск и приговорён к 10 лет ИТЛ. Был освобождён в 1955 году с запретом жить ближе 100 километров к Москве. По некоторым данным последние дни жизни умиравший от рака Собинов провёл в доме-музее Чайковского в Клину под опекой живших там родственников Чайковского, в других источниках утверждается, что в Клину ему поселиться не разрешили, так как этот город находится на меньшем расстоянии от Москвы.
Сохранилось незначительное количество произведений Собинова-сына — фортепианные пьесы, романсы на стихи Пушкина и Гейне (в собственном переводе).
Сводная сестра Б. Л. Собинова, Светлана Леонидовна Собинова, была замужем за детским писателем Львом Абрамовичем Кассилем. Их дочь (племянница Б. Л. Собинова) — режиссёр-мультипликатор Ирина Львовна Собинова-Кассиль.
