Учился в Парижской консерватории у Жана Анри Левассёра и Луи Пьера Норблена. В 1828 г. был среди музыкантов первого состава Оркестра концертного общества Парижской консерватории. Много играл также в ансамбле с Жаном Дельфеном Аляром; музыкальные вечера, организаторами которых выступали Франкомм и Аляр, собирали цвет парижской публики. Партию фортепиано в сложившемся у Франкомма с Аляром трио исполняли либо Шарль Алле, либо Франсис Планте, либо Фридерик Шопен, с которым Франкомма связывали дружеские отношения: результатом их совместного творчества стал Большой концертный дуэт для виолончели и фортепиано (на темы оперы Мейербера «Роберт-дьявол»), специалисты предполагают также значительный вклад Франкомма в шопеновскую Сонату для виолончели и фортепиано Op. 65, которая ему посвящена. Франкомм нёс гроб на похоронах Шопена.
Среди сочинений Франкомма преобладают, естественно, произведения для виолончели, из которых не потеряли значения до сегодняшнего дня Двенадцать каприсов Op. 7 и Двенадцать этюдов Op. 35. Ему принадлежат также виолончельный концерт, вариации на темы популярных опер (в том числе «Нормы» Беллини, «Семирамиды» Россини, «Дон Жуана» Моцарта) и народных песен (испанских, шотландских, тирольских и др.).
С 1846 г. профессор Парижской консерватории. Среди его учеников, в частности, были Лайош Хедьеши, Жюль Дельсар, Эрнест Жилле, Ипполит Рабо (отец Анри Рабо).
