Окончил Королевский музыкальный колледж в Лондоне как органист. В 1914—1920 гг. занимал пост титулярного органиста кафедрального Собора Святой Марии и Святого Иоанна в Маниле. В 1920 г. поселился в США в качестве органиста и хормейстера епископальной церкви Святого Павла в Рочестере.[неоднозначная ссылка] В 1922—1925 гг. преподавал на органном и оперном отделениях Истменовской школы музыки, в 1924—1929 гг. руководил оркестром оперного театра школы, затем работал вторым дирижёром в Рочестерском филармоническом оркестре.
В 1951—1972 гг. возглавлял Симфонический оркестр Оклахома-Сити, получив известность как пропагандист и популяризатор современной американской музыки. В 1959 г. был удостоен степени почётного доктора Университета Оклахома-Сити. В 1962 г. Харрисону была присуждена высшая для американских дирижёров награда — Премия Дитсона. В 1973 г. он был введён в Зал славы штата Оклахома. Имя Харрисона носит учреждённая в 1977 г. в Оклахоме Академия исполнительского искусства — зонтичная организация для различных молодёжных музыкальных коллективов.
