Учился в Копенгагене у Нильса Гаде, с 1884 г. занимался в Веймаре под руководством Ференца Листа. В 1886—1907 гг. жил и работал в Вене, последние два года жизни провёл в Берлине.
Среди сочинений Шитте — оперы «Геро» (1898, Копенгаген) и «Мамелюк» (1903, Вена), балеты, оперетты, пользовавшийся определённой известностью фортепианный концерт Op. 28, другие фортепианные пьесы, ансамблевые произведения и песни. Наибольшей популярностью, однако, пользовались лёгкие пьесы Шитте, широко использовавшиеся в репертуаре музыкальных школ. В 1890 г. опубликовал сборник упражнений «Школа высшего фортепианного мастерства» (нем. Schule des h?heren Klavierspiels), составленный в соавторстве с Морицем Розенталем.
