Родился 23 сентября 1949 года неподалёку от г. Эйшишкес (совр. Литва). Закончил Высшую духовную семинарию в Каунасе, 30 мая 1976 года рукоположён во священники. После рукоположения работал приходским священником в Паневежисе. С 1981 года настоятель прихода Святого Духа в Вильнюсе.
13 апреля 1991 года папа Иоанн Павел II назначил Александра Кашкевича епископом новообразованного Гродненского диоцеза. 23 мая 1991 года рукоположён в епископы, главным консекратором был Тадеуш Кондрусевич. Епископским лозунгом выбрал фразу «Jesu in te confido» («Иисус, на Тебя уповаю» — девиз от названия соответствующей иконы). 14 июня 2006 года избран председателем Конференции католических епископов Белоруссии. Возглавляет Совет по делам молодежи и Совет по делам католического воспитания.
