Впервые упоминается в 1734 году как ученик М. Г. Земцова в московской канцелярии от строений (Лефортовский и Анненгофский дворцы). При Елизавете Петровне работал с Б. Ф. Растрелли и С. Чевакинским над возведением Екатерининского дворца в Царском Селе в качестве подмастерья. Проектная модель, подготовленная Квасовым, не соответствует окончательному виду здания. Курировал работы по внутренней отделке помещений. В XIX веке его столичные проекты — включая церковь Спаса на Сенной и дворец канцлера Бестужева на берегу Невы — приписывались более знаменитому Растрелли.
Наиболее продуктивный период в жизни Квасова связан с работой на братьев Разумовских. Для Алексея он выстроил дворцы в Козельце, Гостилицах и (вероятно) Знаменке, а в 1748 г. отправился на Украину, где для К. Разумовского проектировал и застраивал новую столицу гетманства — Глухов. Возведённый им дворец в Батурине был полностью перестроен Ч. Камероном. Он в совершенстве освоил формы украинского барокко, о чём свидетельствует такое его произведение, как собор Рождества Пресвятой Богородицы в Козельце.
