Учился в Осло у Ивера Хольтера, затем в Лейпцигской консерватории (1892—1895) у Карла Райнеке. Успешная премьера Первой симфонии Альнэса (1896) привела к назначению ему стипендии для дополнительного изучения композиции у Юлиуса Рутхардта. В 1895—1907 гг. Альнэс служил органистом в Драммене, а с 1907 г. и до конца жизни в Осло, в том числе с 1916 г. в Кафедральном соборе Осло. Руководил также различными хоровыми коллективами.
Композиторское наследие Альнэса выдержано в позднеромантическом стиле и включает две симфонии (1896, 1923), симфонические вариации (1898), фортепианный концерт (1913), сюиту для виолончели и фортепиано, различные фортепианные и хоровые сочинения, песни. Он также подготовил четырёхтомное собрание норвежской народной музыки «Северные мелодии» (норв. Nordes Melodier; 1922).
Некоторые песни Альнэса входили в репертуар Фёдора Шаляпина и Кирстен Флагстад. Премьерную запись его фортепианного концерта осуществил в 2007 году Пирс Лэйн (с Бергенским филармоническим оркестром под управлением Эндрю Литтона).
