Учился в Цюрихской консерватории у Эмиля Фрая, затем в Лондоне у Фредерика Ламонда. В 1940 г. разделил со своей соотечественницей Сесиль Беген первую премию Международного конкурса исполнителей в Женеве.
Рудольф Ам Бах особенно известен как пропагандист современной швейцарской академической музыки, первый исполнитель многих произведений новейших композиторов Швейцарии. Известна также работа Ам Баха над произведениями О. Респиги, Ю. Ройбке и др.
В 1939—1987 гг. Рудольф Ам Бах был профессором Винтертурской музыкальной школы.
