Учился, главным образом, у Акилле Фальди, пел в церковных концертах в Риме и окрестностях. В 1852 г. дебютировал на римской оперной сцене в партии Белькоре («Любовный напиток» Гаэтано Доницетти), затем пел в Сполето, Орвьето, Модене, Турине, Генуе, Ницце, в 1860 г. дебютировал в Ла Скала. Систематически гастролировал в Париже, Лондоне, Санкт-Петербурге. Особенным успехом пользовалось исполнение певцом партий в операх Джузеппе Верди; в частности, он участвовал в итальянской премьере оперы «Дон Карлос» (1867). В общей сложности репертуар Котоньи включал, как утверждается, более 120 партий.
В 1894—1898 гг. профессор Санкт-Петербургской консерватории, с 1899 г. — римской Академии Санта-Чечилия. Среди учеников Котоньи в разное время были Джакомо Лаури-Вольпи, Маттиа Баттистини, Беньямино Джильи, Николай Левицкий и другие; у него также брал уроки вокала Сергей Дягилев.
