Родился в семье гамбургского гобоиста, игравшего в военных оркестрах. В 1810 г., желая избежать Наполеоновских войн, переехал в Данию, в 1813 г. принял датское подданство.
В Копенгагене в 1814 г. написал музыку к драме Эленшлегера «R?venbergen», имевшую блестящий успех. Он включил в неё много национальных датских песен и стремился к местному колориту, за что был прозван «датским» композитором, хотя был немец по рождению. Написал также оперы: «Elisa», «Lulu», «Hugo od Adelheid», «Elveroe». Писал для флейты, фортепиано и голоса: квинтеты, концерты, фантазии, рондо, сонаты. Во многих сочинениях Кулау значимо влияние Людвига ван Бетховена, чью музыку он часто исполнял в концертах.
