В 1880—1882 гг. учился в Лейпцигской консерватории, затем в Веймаре у Ференца Листа. На рубеже столетий активно гастролировал по Европе и Америке, в 1898—1903 гг. преподавал фортепиано в Консерватории Клиндворта-Шарвенки в Берлине. С 1920 г. заведовал кафедрой фортепиано в Немецкой академии музыки в Праге. Одновременно в 1910—1925 гг. проводил месячные летние мастер-классы в Кёнигсберге, позднее там же преподавал фортепиано его сын, пианист Иоахим Анзорге. Среди учеников Анзорге-старшего, в частности, Эдуард Эрдман.
Основу композиторского наследия Анзорге составляют песни (около 100) и камерная музыка (струнный квартет, несколько сонат). Ему принадлежит также Симфония «Орфей», Реквием для тенора, мужского хора и оркестра и др.
