Окончил Королевскую высшую музыкальную школу в Стокгольме (1953), где среди его учителей были, в частности, Ларс Эрик Ларссон, Карл Биргер Бломдаль и Эрланд фон Кох. Затем в 1959—1961 гг. занимался у Бориса Блахера в Париже, Макса Дойча в Берлине и Дьёрдя Лигети в Вене, в 1962—1963 гг. изучал электронную музыку под руководством Готфрида Михаэля Кёнига. В 1963 г. стал лауреатом международного конкурса композиторов «Gaudeamus» в Нидерландах.
В 1983—1996 гг. возглавлял шведскую секцию Международного общества современной музыки, в 1996—2002 гг. был его президентом.
Среди произведений Меллнеса — четыре оперы, в том числе «Кентервильское привидение» (швед. Sp?ket p? Canterville; 1980, по Оскару Уайлду), две симфонии, концерты для кларнета, флейты, альт-саксофона с оркестром, хоровые и вокальные сочинения на тексты Цицерона, Франциска Ассизского, Эммануила Сведенборга, Уильяма Блейка, Шарля Бодлера, Роберта Стивенсона, Джакомо Леопарди, Э. Э. Каммингса, Таге Даниэльссона и др., камерная и инструментальная музыка.
