Дебютировал в Одессе в 1920 году. С 1922 года выступал в московских театрах (агиттеатр «Синяя блуза», Театр обозрений при московском Доме печати, театр Парка ЦДКА и др.). Исполнял куплеты, романсы, отечественные и зарубежные песни, опереточные арии. С 1939 г. солист оркестра Александра Цфасмана. Выступал на радио. Особую популярность имели записи Погодина на грампластинках. Наибольшую известность Погодину принесла песня Константина Листова «В парке Чаир».
В 1939 году Аркадий Погодин стал лауреатом первого Всесоюзного конкурса артистов эстрады (пятая премия, после Деборы Пантофель-Нечецкой, Кэто Джапаридзе и Клавдии Шульженко).
В Великую Отечественную войну Аркадий Погодин выступал с фронтовыми бригадами, больше — на Северном флоте и в Заполярье.
После известных постановлений Оргбюро ЦК ВКП(б) О журналах «Звезда» и «Ленинград» 1946 и Об опере «Великая дружба» 1948 года, направленных против «чуждых влияний в советском искусстве», жанр песенных фокстротов и танго был подвернут критике. Погодин ушёл со сцены. Был третьим мужем актрисы Ольги Аросевой.
Песни
- В парке Чаир (К. Листов — П. Арский)
- Быть тебе только другом (Л. Бискарди — р.т. Г.Гнесин)
- Возврата нет (Я. Хаскин — В. Крафт)
- Любила ль ты? (С. Тартаковский — В. Крахт)
- Но я Вас всё-таки люблю (Д. Ленский — Н. Ленский)
- Оглянись (Б.Фомин — Б. Тимофеев)
- Песня любви (А. Цфасман)
- Счастливый дождик (А. Цфасман — Н. Бурыкин)
- Что ж ты опустила глаза (Ч. Биксио)
