Преподавал в университетах Турина, Рима, Падуи и Флоренции. В период 1948 — 1950 гг. работал в Калифорнийском технологическом институте (США) над так называемым проектом Бейтмана, итогом которого явилось создание пятитомной энциклопедии по специальным функциям и функциональным преобразованиям. В 1961 году получил премию имени Антонио Фелтринелли за выдающиеся достижения в математике и механике.
Стал широко известен в 1923 году благодаря своей работе, в которой исследовал корректные краевые задачи для линейных уравнений в частных производных второго порядка смешанного типа; в его честь простейшее уравнение такого типа названо уравнением Трикоми. Его имя носят также и другие математические понятия — функция Трикоми и газ Трикоми. С помощью построенной им функции Трикоми удалось решить одну старую задачу из теории чисел, а также новую задачу из области теоретической биологии: дать теоретическое обоснование для количественной характеристики устойчивости колонии бактерий к антибиотику.
