Получил первые уроки музыки у своего отца, Джона Джозефа Коварика (1850—1939), в 18-летнем возрасте приехавшем из Чехии в деревушку Спиллвилл в Айове и на протяжении многих десятилетий исполнявшего обязанности органиста, хормейстера и учителям музыки в чешско-немецких общинах Айовы и Миннесоты. Затем учился в музыкальной школе в Милуоки, а в 1889—1892 гг. завершил музыкальное образование в Пражской консерватории.
Во время пребывания в Праге Коварик случайно познакомился с Антонином Дворжаком, который, как утверждается, заинтересовался юношей, читавшим в пражском кафе американскую газету. Дворжак, к этому времени уже давший согласие отправиться в США и возглавить там Национальную консерваторию Америки, предложил Коварику стать его секретарём, и в 1892 г. Коварик вместе с Дворжаком и его семьёй прибыл в Нью-Йорк. Поскольку Дворжак плохо переносил нью-йоркский урбанизированный ритм жизни, во время летних каникул Коварик пригласил композитора в свой родительский дом в Спиллвилле, подействовавший на Дворжака исключительно благотворно: за 11 июньских дней 1893 г. он написал в Спиллвилле один из главных шедевров своей камерной музыки — 12-й струнный квартет, и сыграл его несколько раз, взяв себе партию первой скрипки, вместе с Ковариком и его домашними. Там же, в Спилвилле, был завершён и Струнный квинтет Дворжака Op. 97.
В дальнейшем Коварик на протяжении 41 года играл в составе Нью-Йоркского филармонического оркестра. Он также присоединился к струнному квартету Даннройтера — и, в частности, в 1896 г. в составе квартета исполнил в Карнеги-холле американскую премьеру следующего, 13-го квартета Дворжака.
